Nos Exercícios 33-38, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente (Sugestão: verifique se há descontinuidades). Esboce o gráfico da função.
33.
Passo 1
Galera, para determinar os números críticos, primeiro calculamos a derivada da função e depois calculamos os pontos em que ela se anula. Esses pontos são os números críticos. Antes de começar, temos que notar que a função tem um problema de continuidade. Como você talvez se lembre, não podemos ter uma divisão por , então o denominador de uma função nunca pode ser zero. Mas para . Então, já sabemos que esses pontos são problemáticos, pois a função não está definida neles.
A derivada de é dada usando a regra do quociente:
onde usamos , e , .
Passo 2
Agora, só precisamos ver onde a derivada se anula, lembrando que os pontos também são problemáticos na derivada devido ao termo . Para que a derivada se anule, devemos ter
Opa! Mas um número real elevado ao quadrado não dá negativo, não é mesmo? Como a equação acima não pode ser satisfeita, então não temos nenhum número crítico que anule a derivada, somente os pontos de descontinuidade . Esses são os únicos números críticos para essa função e teremos três intervalos de teste: , e . Mas antes de partir para determinação do sinal da derivada nesses 3 intervalos, devemos notar que, tanto o numerador quanto o denominador da derivada são positivos:
No primeiro caso, temos a soma de dois números positivos ( é sempre positivo), logo o resultado é positivo. No segundo caso, temos um número elevado ao quadrado, então o resultado é sempre positivo.
Tá, mas o que isso quer dizer então? Como a derivada é sempre positiva para qualquer valor de , então a função é sempre crescente.
Passo 3
Para confirmar que a função é sempre crescente e verificar os pontos de descontinuidade são , traçamos o gráfico da função.

No gráfico acima, vemos que mesmo com as descontinuidades em , a função é crescente nos intervalos , e .
Resposta
Função descontínua em e crescente nos intervalos , e .