Nos Exercícios 33-38, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente (Sugestão: verifique se há descontinuidades). Esboce o gráfico da função.

33. f(x) = (2x) / (16 - x^2)

Passo 1

Galera, para determinar os números críticos, primeiro calculamos a derivada da função e depois calculamos os pontos em que ela se anula. Esses pontos são os números críticos. Antes de começar, temos que notar que a função f ( x ) = 2 x 16 - x 2 tem um problema de continuidade. Como você talvez se lembre, não podemos ter uma divisão por 0 , então o denominador de uma função nunca pode ser zero. Mas 16 - x 2 = 0 para x = ± 4 . Então, já sabemos que esses pontos são problemáticos, pois a função não está definida neles.

A derivada de f ( x ) = 2 x 16 - x 2 é dada usando a regra do quociente:

f ' ( x ) = d f d x = d d x g h = g ' ⋅ h - g ⋅ h ' h 2 = 2 ⋅ ( 16 - x 2 ) - 2 x ⋅ ( - 2 x ) ( 16 - x 2 ) 2 = 32 - 2 x 2 + 4 x 2 ( 16 - x 2 ) 2 = 32 + 2 x 2 ( 16 - x 2 ) 2 = 2 ( x 2 + 16 ) ( 16 - x 2 ) 2

onde usamos g ( x ) = 2 x , h ( x ) = 16 - x 2 e g ' ( x ) = 2 , h ' ( x ) = - 2 x .

Passo 2

Agora, só precisamos ver onde a derivada se anula, lembrando que os pontos x = ± 4 também são problemáticos na derivada devido ao termo ( 16 - x 2 ) 2 . Para que a derivada se anule, devemos ter

x 2 + 16 = 0 ⇒ x 2 = - 16

Opa! Mas um número real elevado ao quadrado não dá negativo, não é mesmo? Como a equação acima não pode ser satisfeita, então não temos nenhum número crítico que anule a derivada, somente os pontos de descontinuidade x = ± 4 . Esses são os únicos números críticos para essa função e teremos três intervalos de teste: ( - ∞ , - 4 ) , ( - 4,4 ) e ( 4 , ∞ ) . Mas antes de partir para determinação do sinal da derivada nesses 3 intervalos, devemos notar que, tanto o numerador quanto o denominador da derivada são positivos:

x 2 + 16 > 0

( 16 - x 2 ) 2 ≥ 0

No primeiro caso, temos a soma de dois números positivos ( x 2 é sempre positivo), logo o resultado é positivo. No segundo caso, temos um número elevado ao quadrado, então o resultado é sempre positivo.

Tá, mas o que isso quer dizer então? Como a derivada é sempre positiva para qualquer valor de x , então a função é sempre crescente.

Passo 3

Para confirmar que a função é sempre crescente e verificar os pontos de descontinuidade são x = ± 4 , traçamos o gráfico da função.

No gráfico acima, vemos que mesmo com as descontinuidades em x = ± 4 , a função é crescente nos intervalos ( - ∞ , - 4 ) , ( - 4,4 ) e ( 4 , ∞ ) .

Resposta

Função descontínua em x = ± 4 e crescente nos intervalos ( - ∞ , - 4 ) , ( - 4,4 ) e ( 4 , ∞ ) .