Nos Exercícios 33-38, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente (Sugestão: verifique se há descontinuidades). Esboce o gráfico da função.
37.
Passo 1
Fala galera! Para começar mais uma questãozinha, vamos verificar se a função acima é descontínua em . Para tanto, temos que tomar o limite da função em pela esquerda e pela direita. Quando, a função é . Nesse caso, o limite a esquerda é
Quando , a função é e o limite a direita é
Por enquanto, obtivemos o mesmo valor pela esquerda e pela direita, mas isso não é suficiente para ter certeza que a função não é descontínua nesse ponto. Por enquanto, vamos considerar que não há descontinuidade e descobrir os demais números críticos. Para tanto, temos que calcular a derivada e ver em que pontos ela se anula.
Passo 2
Vamos calcular a derivada nos intervalos e porque a função é diferente nesses dois intervalos. Em , temos . A função é e sua derivada é
Como derivada é constante, ela nunca se anula no intervalo . Logo, não temos nenhum número crítico nesse intervalo.
Em , temos e . Então, a derivada é dada por
Essa derivada só se anula em , mas esse ponto não pertence a . Assim, os intervalos abertos permanecem sendo e :
A derivada nesse intervalo. Logo, a função é crescente.
Nesse intervalo, e , de modo que a função é decrescente.
Passo 3
Até agora, descobrimos que a função é crescente em e decrescente em . Ainda não sabemos se é de fato uma descontinuidade, mas isso pode ser checado no gráfico da função. De fato, vemos que a função apresenta uma descontinuidade do tipo bico.

Resposta
Função descontínua em , crescente em e decrescente .