Nos Exercícios 33-38, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente (Sugestão: verifique se há descontinuidades). Esboce o gráfico da função.

37.

y = 3x + 1, x ≤ 1,

5 - x^2, x > 1

Passo 1

Fala galera! Para começar mais uma questãozinha, vamos verificar se a função acima é descontínua em x = 1 . Para tanto, temos que tomar o limite da função em x = 1 pela esquerda e pela direita. Quando   x ≤ 1 , a função é 3 x + 1 . Nesse caso, o limite a esquerda é

l i m x → 1 -   y = l i m x → 1 -   3 x + 1 = 4

Quando x > 1 , a função é 5 - x 2 e o limite a direita é

l i m x → 1 +   y = l i m x → 1 + 5 - x 2 = 4

Por enquanto, obtivemos o mesmo valor x = 1 pela esquerda e pela direita, mas isso não é suficiente para ter certeza que a função não é descontínua nesse ponto. Por enquanto, vamos considerar que não há descontinuidade e descobrir os demais números críticos. Para tanto, temos que calcular a derivada e ver em que pontos ela se anula.

Passo 2

Vamos calcular a derivada nos intervalos ( - ∞ , 1 ) e ( 1 , - ∞ ) porque a função é diferente nesses dois intervalos. Em ( - ∞ , 1 ) , temos x ≤ 1 . A função é y = 3 x + 1 e sua derivada é

d y d x = d d x ( 3 x + 1 ) = 3

Como derivada é constante, ela nunca se anula no intervalo ( - ∞ , 1 ) . Logo, não temos nenhum número crítico nesse intervalo.

Em ( 1 , ∞ ) , temos x > 1 e y = 5 - x 2 . Então, a derivada é dada por

d y d x = d d x ( 5 - x 2 ) = - 2 x

Essa derivada só se anula em x = 0 , mas esse ponto não pertence a ( 1 , - ∞ ) . Assim, os intervalos abertos permanecem sendo ( - ∞ , 1 ) e ( 1 , ∞ ) :

  • ( - ∞ , 1 )

A derivada d y d x = 3 > 0 nesse intervalo. Logo, a função é crescente.

  • ( 1 , ∞ )

Nesse intervalo, d y d x = - 2 x e 0 < x ⇒     0 > - 2 x = d y d x , de modo que a função é decrescente.

Passo 3

Até agora, descobrimos que a função é crescente em ( - ∞ , 1 ) e decrescente em ( 1 , ∞ ) . Ainda não sabemos se x = 1 é de fato uma descontinuidade, mas isso pode ser checado no gráfico da função. De fato, vemos que a função apresenta uma descontinuidade do tipo bico.

Resposta

Função descontínua em x = 1 , crescente em ( - ∞ , 1 ) e decrescente ( 1 , ∞ ) .