Nos Exercícios 33-38, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente (Sugestão: verifique se há descontinuidades). Esboce o gráfico da função.

36.

y = 2x + 1, x ≤ -1,

x^2 - 2, x > -1

Passo 1

A função acima provavelmente é descontínua em x = - 1 . Para verificar se isso de fato acontece, vamos tomar o limite da função em x = - 1 pela esquerda e pela direita. Quando   x ≤ - 1 , a função é 2 x + 1 e o limite a esquerda é

l i m x → - 1 -   y = l i m x → - 1 -   2 x + 1 = - 1

Por outro lado, quando x > - 1 , a função é x 2 - 2 e o limite a direita é

l i m x → - 1 +   y = l i m x → - 1 + x 2 - 2 = - 1

Com isso, vemos que a função não tem um limite único em x = - 1 mas isso não é suficiente para garantir que não há descontinuidade. Para descobrir os demais números críticos, temos que calcular a derivada.

Passo 2

Bora lá obter essa derivada? Quando x ≤ - 1 y = 2 x + 1 e a derivada é

d y d x = d d x ( 2 x + 1 ) = 2

A derivada nunca se anula no intervalo ( - ∞ , - 1 ) , uma vez que ela tem valor constante. Então não temos nenhum número crítico nesse intervalo.

Quando x > - 1 , y = x 2 - 2 . Então, a derivada é

d y d x = d d x ( x 2 + 2 ) = 2 x

Essa derivada só se anula em x = 0 . Assim, temos três intervalos abertos ( - ∞ , - 1 ) , ( - 1,0 ) e ( 0 , ∞ ) . Embora a gente não tenha confirmado que x = - 1 é descontinuidade, como a função muda sua definição nesse ponto, é mais conveniente separar os intervalos dessa forma. Assim:

  • ( - ∞ , - 1 )

Nesse intervalo, d y d x = 2 > 0 então a função é crescente.

  • ( - 1,0 )

Nesse intervalo, d y d x = 2 x e - 1 < x < 0 , então

- 1 < x < 0 ⇒ - 2 < 2 x < 0 ⇒ d y d x = 2 x < 0

Como a derivada é negativa, segue que a função é decrescente no intervalo.

  • ( 0 , ∞ )

Nesse intervalo, d y d x = 2 x e 0 < x ⇒     0 < 2 x = d y d x , então a função é crescente.

Passo 3

No gráfico da função, vemos uma descontinuidade em x = - 1 , no formato de quina, e que a função é crescente em ( - ∞ , - 1 ) e ( 0 , ∞ ) e decrescente ( - 1,0 ) .

Resposta

Função descontínua em x = - 1 , número crítico em x = 0 , crescente em ( - ∞ , - 1 ) e ( 0 , ∞ ) e decrescente ( - 1,0 ) .