Nos Exercícios 33-38, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente (Sugestão: verifique se há descontinuidades). Esboce o gráfico da função.
36.
Passo 1
A função acima provavelmente é descontínua em . Para verificar se isso de fato acontece, vamos tomar o limite da função em pela esquerda e pela direita. Quando, a função é e o limite a esquerda é
Por outro lado, quando , a função é e o limite a direita é
Com isso, vemos que a função não tem um limite único em mas isso não é suficiente para garantir que não há descontinuidade. Para descobrir os demais números críticos, temos que calcular a derivada.
Passo 2
Bora lá obter essa derivada? Quando e a derivada é
A derivada nunca se anula no intervalo , uma vez que ela tem valor constante. Então não temos nenhum número crítico nesse intervalo.
Quando , . Então, a derivada é
Essa derivada só se anula em . Assim, temos três intervalos abertos , e . Embora a gente não tenha confirmado que é descontinuidade, como a função muda sua definição nesse ponto, é mais conveniente separar os intervalos dessa forma. Assim:
Nesse intervalo, então a função é crescente.
Nesse intervalo, e , então
Como a derivada é negativa, segue que a função é decrescente no intervalo.
Nesse intervalo, e , então a função é crescente.
Passo 3
No gráfico da função, vemos uma descontinuidade em , no formato de quina, e que a função é crescente em e e decrescente .
Resposta
Função descontínua em , número crítico em , crescente em e e decrescente .