Nos Exercícios 33-38, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente (Sugestão: verifique se há descontinuidades). Esboce o gráfico da função.

38.

y = -x^3 + 1, x ≤ 0

-x^2 + 2x, x > 0

Passo 1

Começamos essa questão verificando se temos descontinuidade x = 0 . Assim, temos que tomar o limite da função em x = 0 pela esquerda e pela direita e verificar se obtemos o mesmo valor. Quando   x ≤ 0 , a função é - x 3 + 1 e o limite a esquerda é

l i m x → 0 -   y = l i m x → 0 - - x 3 + 1 = 1

No caso em que x > 1 , a função é - x 2 + 2 x enquanto o limite a direita é

l i m x → 1 +   y = l i m x → 1 + - x 2 + 2 x = 0

Com isso, vemos que a função assume valores diferentes quando nos aproximamos de x = 0 pela esquerda e pela direita. Agora, vamos calcular a derivada e ver em que pontos ela se anula para obter os números críticos.

Passo 2

Como a função muda de definição em x = 0 e, além disso, esse é um ponto de continuidade, vamos calcular a derivada nos intervalos ( - ∞ , 0 ) e ( 0 , - ∞ ) . Em ( - ∞ , 0 ) , temos x ≤ 0 e y = - x 3 + 1 . Logo, a derivada é

d y d x = d d x ( - x 3 + 1 ) = - 3 x 2

Com isso, vemos que a função só se anula em x = 0 , mas esse ponto não faz parte do intervalo ( - ∞ , 0 ) – lembre-se que o intervalo aberto não inclui os pontos extremos.

Em ( 0 , ∞ ) , temos x > 1 e y = - x 2 + 2 x . Então, a derivada será

d y d x = d d x ( - x 2 + 2 x ) = - 2 x + 2

Aqui, vemos que a derivada pode ser nula em x = 1 . Então, temos mais um ponto crítico e três intervalos de teste: ( - ∞ , 0 ) , ( 0,1 ) e ( 1 , - ∞ ) . Vamos testar o sinal da derivada em cada um desses intervalos?

  • ( - ∞ , 0 )

Nesse intervalo, a derivada é d y d x = - 3 x 2 . Como x 2 > 0 , então d y d x - 3 x 2 < 0 . Assim, a função é decrescente.

Nos próximos intervalos, teremos d y d x = - 2 x + 2 .

  • ( 0,1 )

Nesse intervalo, 0 < x < 1 , então

0 < x < 1 ⇒ 0 < 2 x < 2 ⇒ - 2 < - 2 x < 0 ⇒ 0 < - 2 x + 2 < 2 ⇒ 0 < d y d x < 2

Como a derivada é positiva, então a função é crescente.

  • ( 1 , ∞ )

Nesse intervalo x > 1 . Logo,

x > 1 ⇒ 2 x > 2 ⇒ - 2 x < - 2 ⇒ d y d x - 2 x + 2 < 0

Já que a derivada é negativa nesse intervalo, então a função é decrescente.

Passo 3

O gráfico da função foi traçado abaixo. Nele, podemos ver todas as informações que obtivemos: a função é descontínua em x = 0 , crescente nos intervalos ( - ∞ , 0 ) e ( 0,1 ) e decrescente em ( 1 , - ∞ ) .

Resposta

Função é descontínua em x = 0 , número crítico em x = 1 , crescente em ( - ∞ , 0 ) e ( 0,1 ) e decrescente em ( 1 , - ∞ ) .