Nos Exercícios 33-38, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente (Sugestão: verifique se há descontinuidades). Esboce o gráfico da função.
38.
Passo 1
Começamos essa questão verificando se temos descontinuidade . Assim, temos que tomar o limite da função em pela esquerda e pela direita e verificar se obtemos o mesmo valor. Quando, a função é e o limite a esquerda é
No caso em que , a função é enquanto o limite a direita é
Com isso, vemos que a função assume valores diferentes quando nos aproximamos de pela esquerda e pela direita. Agora, vamos calcular a derivada e ver em que pontos ela se anula para obter os números críticos.
Passo 2
Como a função muda de definição em e, além disso, esse é um ponto de continuidade, vamos calcular a derivada nos intervalos e . Em , temos e . Logo, a derivada é
Com isso, vemos que a função só se anula em , mas esse ponto não faz parte do intervalo – lembre-se que o intervalo aberto não inclui os pontos extremos.
Em , temos e . Então, a derivada será
Aqui, vemos que a derivada pode ser nula em . Então, temos mais um ponto crítico e três intervalos de teste: , e . Vamos testar o sinal da derivada em cada um desses intervalos?
Nesse intervalo, a derivada é . Como , então . Assim, a função é decrescente.
Nos próximos intervalos, teremos .
Nesse intervalo, , então
Como a derivada é positiva, então a função é crescente.
Nesse intervalo . Logo,
Já que a derivada é negativa nesse intervalo, então a função é decrescente.
Passo 3
O gráfico da função foi traçado abaixo. Nele, podemos ver todas as informações que obtivemos: a função é descontínua em , crescente nos intervalos e e decrescente em .

Resposta
Função é descontínua em , número crítico em , crescente em e e decrescente em .