Nos Exercícios 33-38, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente (Sugestão: verifique se há descontinuidades). Esboce o gráfico da função.

35.

y = 4 - x^2, x ≤ 0,

-2x, x > 0

Passo 1

Prontos para mais uma questão? Como a função tem duas definições, uma para x ≤ 0 e outra para x > 0 , o que indica que a função provavelmente é descontínua em x = 0 . Para verificar que isso é verdade, podemos tomar o limite para x positivo e x negativo.

Vamos calcular o limite da função pela esquerda e pela direita. Para fazer isso, temos que tomar o limite da função para x positivo e x negativo Quando x é positivo, usamos - 2 x . Nesse caso, temos

l i m x → 0 +   y = l i m x → 0 + - 2 x = 0

Quando x é negativo ou igual a zero, usamos 4 - x 2 . Nesse caso,

l i m x → 0 -   y = l i m x → 0 - 4 - x 2 = 4

Com isso, vemos que a função não tem um limite único em x = 0 . Portanto, temos uma descontinuidade nesse ponto. Então, x = 0 já é um número crítico. Para descobrir os demais, vamos calcular a derivada.

Passo 2

Agora vamos obter a derivada da função. Quando x é positivo, usamos - 2 x . Nesse caso, temos

d y d x = d d x ( - 2 x ) = - 2

Já que a derivada tem valor constante, ela nunca se anula no intervalo ( - ∞ , 0 ) . Então não temos nenhum número crítico nesse intervalo.

Quando x é negativo ou igual a zero, usamos 4 - x 2 . Então,

d y d x = d d x ( 4 - x 2 ) = - 2 x

Essa derivada só se anula em x = 0 . Mas já sabemos que esse é um número crítico. Então vamos analisar o sinal da derivada nos intervalos abertos ( - ∞ , 0 ) e ( 0 , ∞ ) :

  • ( - ∞ , 0 )

Nesse intervalo, d y d x = - 2 x e x < 0 . Então,

x < 0 ⇒ 2 x < 0 ⇒ d y d x = - 2 x > 0

Como a derivada é positiva, então a função é crescente nesse intervalo.

  • ( 0 , ∞ )

Nesse intervalo, d y d x = - 2 < 0 , então a função é decrescente.

Passo 3

No gráfico da função, traçado abaixo, fica bem mais claro que temos uma descontinuidade em x = 0 e que a função é crescente em ( - ∞ , 0 ) e decrescente ( 0 , ∞ ) .

Resposta

Função descontínua em x = 0 , crescente em ( - ∞ , 0 ) e decrescente ( 0 , ∞ ) .