Nos Exercícios 33-38, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente (Sugestão: verifique se há descontinuidades). Esboce o gráfico da função.
35.
Passo 1
Prontos para mais uma questão? Como a função tem duas definições, uma para e outra para , o que indica que a função provavelmente é descontínua em . Para verificar que isso é verdade, podemos tomar o limite para positivo e negativo.
Vamos calcular o limite da função pela esquerda e pela direita. Para fazer isso, temos que tomar o limite da função para positivo e negativo Quando é positivo, usamos . Nesse caso, temos
Quando é negativo ou igual a zero, usamos . Nesse caso,
Com isso, vemos que a função não tem um limite único em . Portanto, temos uma descontinuidade nesse ponto. Então, já é um número crítico. Para descobrir os demais, vamos calcular a derivada.
Passo 2
Agora vamos obter a derivada da função. Quando é positivo, usamos . Nesse caso, temos
Já que a derivada tem valor constante, ela nunca se anula no intervalo . Então não temos nenhum número crítico nesse intervalo.
Quando é negativo ou igual a zero, usamos . Então,
Essa derivada só se anula em . Mas já sabemos que esse é um número crítico. Então vamos analisar o sinal da derivada nos intervalos abertos e :
Nesse intervalo, e . Então,
Como a derivada é positiva, então a função é crescente nesse intervalo.
Nesse intervalo, , então a função é decrescente.
Passo 3
No gráfico da função, traçado abaixo, fica bem mais claro que temos uma descontinuidade em e que a função é crescente em e decrescente .

Resposta
Função descontínua em , crescente em e decrescente .