Nos Exercícios 39-46, utilize a definição por limite para determinar uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto dado. Em seguida, confirme os resultados usando uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função e sua reta tangente no ponto.

39. f(x) = x^2 / 2, (2,2)

Passo 1

Fala, galera! Nessa questãozinha, vamos aplicar a fórmula:

m = l i m h   → 0 f ( x   +   h )   -   f ( x ) h ,

para   f ( x ) = x 2 2 . Assim, obtemos

m = l i m h   → 0 ( x + h ) 2 - x 2 2 h = l i m h   → 0 x 2 + 2 h x + h 2 - x 2 2 h = l i m h   → 0 h ( 2 x + h ) 2 h = l i m h   → 0 x + h 2 = x

Em x = 2 , temos m = 2 .

Passo 2

A equação da reta tangente é da forma:

y = m x + b .

Para determinar b , vamos aplicar a equação acima ao ponto ( 2,2 ) :

2 = 2 ⋅ 2 + b ⇒ b = 2 - 4 = - 2

Logo, a equação da reta tangente a f ( x ) = x 2 2 é

y = 2 x - 2

Passo 3

Os resultados acima podem ser confirmados no gráfico da função abaixo:

Resposta

y = 2 x - 2