Nos Exercícios 39-46, utilize a definição por limite para determinar uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto dado. Em seguida, confirme os resultados usando uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função e sua reta tangente no ponto.

40. f(x) = -x^2, (-1, -1)

Passo 1

Começamos essa questão aplicando a fórmula:

m = l i m h   → 0 f ( x   +   h )   -   f ( x ) h ,

para   f ( x ) = - x 2 . Assim, obtemos

m = l i m h   → 0 - ( x + h ) 2 + x 2 h = l i m h   → 0 - x 2 - 2 h x - h 2 + x 2 h = l i m h   → 0 - h ( 2 x + h ) h = l i m h   → 0 - 2 x - h = - 2 x

Em x = - 1 , temos m = 2 .

Passo 2

Agora, precisamos utilizar a equação da reta tangente:

y = m x + b .

Para determinar b , vamos aplicamos a equação acima ao ponto ( - 1 , - 1 ) :

- 1 = 2 ⋅ ( - 1 ) + b ⇒ b = - 1 + 2 = 1

Logo, a equação da reta tangente a f ( x ) = - x 2 é

y = 2 x + 1

Passo 3

Verificamos que os resultados acima podem estão corretos observando o gráfico da função, que é dado abaixo:

Resposta

y = 2 x + 1