Nos exercícios 5-10, calcule o comprimento de arco ao longo do intervalo dado.

10. y = ln(cos(x)), [0, π/4]

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A derivada para esse caso tem alguns passos a mais, mas nada de muito complexo, observe que vamos primeiramente utilizar a regra da cadeia

y ' = ln ⁡ cos ⁡ x ' = 1 cos ⁡ x ∙ cos ⁡ x ' = - sin ⁡ x cos ⁡ x

Com isso, temos o seguinte resultado

y ' = - tan ⁡ x

Logo, o comprimento de arco é dado por

s =   ∫ 0 π 4 1 + tan 2 ⁡ ( x )   d x

Passo 2

Tendo em mente que podemos utilizar a seguinte propriedade

sec 2 ⁡ ( x ) = tan 2 ⁡ ( x ) + 1

Logo, temos que

s =   ∫ 0 π 4 1 + tan 2 ⁡ ( x )   d x = ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ ( x )   d x

Essa integral tem como resultado

s = ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x 0 π 4

Que será igual a

s = ln ⁡ ( 2 + 1 )

Resposta

s = ln ⁡ ( 2 + 1 )