Nos exercícios 5-10, calcule o comprimento de arco ao longo do intervalo dado.

7. y = x^(3/2), [1,2]

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiramente, vamos calcular a derivada de y, com isso, nós temos que

y ' = 3 2 x 1 2

Calculando o comprimento de arco, nós temos que

∫ a b 1 + y ' 2   d x = ∫ 1 2 1 + 3 2 x 1 2 2   d x = ∫ 1 2 1 + 9 4 x   d x

Nós iremos usar o método da substituição para resolver a integral acima,

u = 9 4 x + 1 → d x = 4 9 d u

Com isso, nós temos que

∫ 1 + 9 4 x   d x = 4 9 ∫ u   d u

Calculando a integral da direita, nós temos que

∫ 1 + 9 4 x   d x = 8 27 u 3 / 2

Retornando a variável original,

∫ 1 + 9 4 x   d x = 8 27 9 4 x + 1 3 / 2

Passo 2

Agora vamos voltar a calcular o comprimento de arco, com isso, nós obtemos a seguinte configuração

s =   ∫ 1 2 1 + 9 4 x   d x = 8 27 9 4 x + 1 3 2 1 2  

Desenvolvendo o resultado, nós temos que

s = 8 27 11 2 3 2 - 13 4 3 2 = 1 27 22 3 2 - 13 3 2

Logo, nós obtemos que

s = 1 27 22 22 - 13 13

Resposta

s = 1 27 22 22 - 13 13