Nos Exercícios 5-10, dê uma estimativa de Δf usando a aproximação linear e use uma calculadora para calcular o erro e também o erro percentual.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para fazer este exercício, uma aproximação linear é usada. Aquilo é

Δ f   ≈ f ' ( a ) Δ x     ( 1 )

onde f deve ser diferenciável em x=a e Δx é apenas pequeno.

Passo 2

Para começar, resolva para f′(x). Daí, dá

f ( x )   =   1 1 + x ²

= ( 1 + x ² ) ⁻ ¹

f ' ( x )   =   d d x ( 1 + x ² ) ⁻ ¹ ∙ d d x ( 1 + x ² )

= - 2 x ( 1 + x ² ) ²

então, resolvendo para f ' ( a ) para onde a = 3.

f ' ( x )   =   - 2 x ( 1 + x ² ) ²

f ( 3 )   =   - 2 ( 3 ) ( 1 + ( 3 ) ² ) ²

= - 3 50

Finalmente, resolva Δf usando a equação (1) onde f′(3)=−3/50 e Δx=0.5. Assim, Δf é aproximado por

Δ f   ≈   f ' ( a ) Δ x

≈ f ' ( 3 ) Δ x

≈ ( - 3 50 ) ( 0.5 )

≈ - 0.03

Para calcular o erro, a equação abaixo é usada. Aquilo é

E   =   | Δ f   -   f ' ( a ) Δ x |     ( 2 )

Para resolver Δf usando a calculadora, a equação abaixo é usada. Aquilo é

Δ f   =   f ( a + Δ x )   -   f ( a )     ( 3 )

Observe que Δf, neste caso, é o valor real de Δf.

Agora, resolva Δf usando a equação (3). Assim, dá

Δ f   =   f ( a   +   Δ x )   - f ( a )

= f ( 3 + 0.5 )   -   f ( 3 )

= f ( 3.5 ) - f ( 3 )

= 1 1 + ( 3.5 ) ² - 1 1 + ( 3 ) ²  

= - 0.0245283

Passo 3

Como Δf=−0.0245283 e f′(a)Δx=−0,03 (o Δf usando aproximação linear), então o erro pode agora ser obtido através da substituição direta desses valores na equação (2). Aquilo é

E   =   | Δ f   -   f ' ( a ) Δ x |

= | - 0.0245283 - ( - 0.03 ) |

= 0.0054717

Para calcular o erro percentual, a equação abaixo é usada. Aquilo é

e r r o   %   =   | E v a l o r   r e a l |     ( 4 )

Resolvendo o erro percentual onde E=0,0054717 e o valor real para Δf é −0,0245283 dá

e r r o   %   =   | E v a l o r   r e a l | ∙ 100 %

= | 0.0054717 - 0.0245283 | ∙ 100 %

= 22.31 %

Resposta

Resposta nos passos.