Nos exercícios 5-32, calcule o limite ou afirme que não existe.

11. lim h → 0 ⁡ 1 + h 3 - 1 h

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiramente, vamos fazer a substituição direta, nós temos que

  lim h → 0 ⁡ 1 + h 3 - 1 h = 1 + 0 3 - 1 0 = 1 - 1 0

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

  lim h → 0 ⁡ 1 + h 3 - 1 h = 0 0

Isso é uma indeterminação, nós temos que

1 + h 3 - 1 h

Lembrando que o termo a + b 3 pode ser escrito como

a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 b 2 a + b 3

Substituindo no limite,

1 + h 3 = 1 3 + 3 ∙ 1 2 ∙ h + 3 ∙ h 2 ∙ 1 + h 3 = 1 + 3 h + 3 h 2 + h 3

Voltando ao limite,

1 + 3 h + 3 h 2 + h 3 - 1 h = 3 h + 3 h 2 + h 3 h = h 3 + 3 h + h 2 h = 3 + 3 h + h 2

Passo 2

Agora, podemos substituir diretamente

lim h → 0 ⁡ 1 + h 3 - 1 h = lim h → 0 ⁡ 3 + 3 h + h 2

Com isso, nós temos que

lim h → 0 ⁡ 1 + h 3 - 1 h = 3 + 3 ∙ 0 + 0 2

Portanto,

lim h → 0 ⁡ 1 + h 3 - 1 h = 3

Resposta

lim h → 0 ⁡ 1 + h 3 - 1 h = 3