Nos exercícios 5-32, calcule o limite ou afirme que não existe.

13. lim x → 2 ⁡ 3 x 2 - 4 x - 4 2 x 2 - 8

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Sempre como um primeiro passo, nós vamos substituir diretamente, com isso, nós obtemos o seguinte resultado

lim x → 2 ⁡ 3 x 2 - 4 x - 4 2 x 2 - 8 = 3 ∙ 2 2 - 4 ∙ 2 - 4 2 ∙ 2 2 - 8 = 12 - 8 - 4 8 - 8

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

lim x → 2 ⁡ 3 x 2 - 4 x - 4 2 x 2 - 8 = 0 0

Isso nos leva a uma indeterminação, com isso, temos que transformar algebricamente os termos

3 x 2 - 4 x - 4

Podemos fazer a seguinte manipulação

3 x 2 - 4 x - 4 = 3 x 2 - 4 x - 2 x + 2 x - 4

Passo 2

Com isso, o limite é igual a

lim x → 2 ⁡ 3 x 2 - 4 x - 2 x + 2 x - 4 2 x 2 - 4

Com isso, nós temos que

lim x → 2 ⁡ 3 x 2 - 4 x - 2 x + 2 x - 4 2 x 2 - 4 = 3 x 2 - 6 x + 2 x - 4 2 x + 2 x - 2 = 3 x x - 2 + 2 ( x - 2 ) 2 x + 2 x - 2

Temos um termo em comum no numerador, nós temos que

lim x → 2 ⁡ 3 x 2 - 4 x - 2 x + 2 x - 4 2 x 2 - 4 = x - 2 3 x + 2 2 x + 2 x - 2

Cancelando o termo comum x - 2 ,

lim x → 2 ⁡ 3 x 2 - 4 x - 2 x + 2 x - 4 2 x 2 - 4 = 3 x + 2 2 x + 2

Passo 3

Substituindo diretamente, nós temos que

lim x → 2 ⁡ 3 x 2 - 4 x - 4 2 x 2 - 8 = 3 x + 2 2 ( x + 2 )

Com isso,

lim x → 2 ⁡ 3 x 2 - 4 x - 4 2 x 2 - 8 = 3 ∙ 2 + 2 2 2 + 2 = 6 + 2 2 × 4 = 8 8

Portanto,

lim x → 2 ⁡ 3 x 2 - 4 x - 4 2 x 2 - 8 = 1

Resposta

lim x → 2 ⁡ 3 x 2 - 4 x - 4 2 x 2 - 8 = 1