Nos exercícios 5-8, mostre que cada função é uma solução do problema de valor inicial dado.

5.

Equação diferencial: y' + y = 2 / (1 + 4 * e^(2x))

Condição inicial: y - ln(2) = π / 2

Candidata a solução: y = e^(-x) * tan^(-1)(2 * e^x)

Passo 1

E aeee... beleza???

Nessa questão vamos precisar mostrar que a candidata a solução é realmente solução da equação diferencial.

Também vamos precisar lembrar da derivada de:

tan - 1 ⁡ x ' = 1 1 + x 2

Passo 2

Sendo a função:

y = e - x tan - 1 ⁡ 2 e x

Derivando:

y ' = - e - x tan - 1 ⁡ 2 e x + e - x 2 1 1 + 2 e x 2

y ' = - e - x tan - 1 ⁡ 2 e x + 2 e - x 1 + 4 e 2 x

Passo 3

Botando tudo na equação diferencial:

y ' + y = 2 1 + 4 e 2 x

- e - x tan - 1 ⁡ 2 e x + 2 e - x 1 + 4 e 2 x + e - x tan - 1 ⁡ 2 e x = 2 1 + 4 e 2 x

2 e - x 1 + 4 e 2 x = 2 e - x 1 + 4 e 2 x

Deu direitinho, mas falta testar a condição inicial:

y - ln ⁡ 2 = π 2

e - - ln ⁡ 2 tan - 1 ⁡ 2 e - ln ⁡ 2 = π 2

e ln ⁡ 2 tan - 1 ⁡ 2 e ln ⁡ 2 = π 2

2 tan - 1 ⁡ 1 = π 2

2 π 4 = π 2

π 2 = π 2

Showw... tudo certinho. Acabamos. =)

Resposta

Demonstração nos passos.