Nos Exercícios 9-20, determine a integral e indefinida e verifique seu resultado por meio de derivação.

∫ y 3 2 d y  

Passo 1

Para determinarmos a integral indefinida, utilizaremos a seguinte relação ∫ y n d t   = y n + 1 n + 1 +   C , onde temos C é constante de integração. No nosso caso, n = 3 / 2 . Então, basta substituir o valor de n na relação acima para ter o resultado da integral

∫ y 3 2 d y   = y 3 2 + 1 3 2 + 1     +   C   =   2 5 y 5 2   +   C .  

Passo 2

O resultado obtido no passo anterior é verificado se a derivada da primitiva mais a constante de integração for igual ao integrando. Sendo assim, vamos derivar o lado direito com relação a y , daí

d d y [ 2 5 y 5 2   +   C ]   = d d y [ 2 5 y 5 2   ]   +   d d y [ C ]   = 2 5 ⋅ 5 2 ⋅ y 5 2 - 1   +   0   = y 3 2   ,

onde d d y [ C ]   =   0 , por ser a derivada de uma constante.

Resposta

2 5 y 5 2   +   C