Nos Exercícios 9-20, determine a integral e indefinida e verifique seu resultado por meio de derivação.

∫ 5 t 2 d t  

Passo 1

Para determinarmos a integral indefinida, ficaremos atentos aos termos constantes que poderão sair da integral e utilizaremos a regra: ∫ t n d t   = t n + 1 n + 1 +   C , onde o termo C é uma constante arbitrária de integração. Então, o integrando acima é resolvido da seguinte forma

∫ 5 t 2 d t   =   5   ∫ t 2 d t   =   5   ⋅ t 2 + 1 2 + 1     +   C   =   5 3 t 3   +   C .  

Passo 2

Agora, vamos conferir a validade do resultado obtido no passo anterior através da derivada da primitiva mais a constante de integração. Sendo assim, vamos derivar o lado direito com relação a t , daí

d d t [     5 3 t 3   +   C ]   = d d t [ 5 3 t 3 ]   +   d d t [ C ]   =   5 3 ⋅ 3 t 2   +   0   =   5 t 2 ,  

onde d d t [ C ]   =   0 , por ser a derivada de uma constante.

Resposta

5 3 t 3   +   C