Nos Exercícios 9-20, determine a integral e indefinida e verifique seu resultado por meio de derivação.

∫ e 3 d y  

Passo 1

Para determinarmos a integral indefinida, ficaremos atentos aos termos constantes que, para esse problema é e 3   , pois e não possui uma variável que dependa de y em seu expoente. Tornando-se um termo constante. Então, utilizaremos a regra: ∫ d t   = t +   C , onde C é uma constante de integração. Logo,

∫ e 3 d y   =   e 3   ∫ d y   =   e 3 ⋅ y   +   C .    

Passo 2

A verificação do resultado da integral pode ser obtida a partir da derivação da função primitiva mais a constante proveniente da integração indefinida. Assim, derivando o resultado do passo 1 com relação a variável y , temos

d d y [   e 3 ⋅ y   +   C ]   =   e 3 d d y [ y ]   +   d d y [ C ]   =   e 3   +   0   =   e 3 ,  

onde d d y [ C ]   =   0 , por ser a derivada de uma constante.

Resposta

e 3 y   +   C