Nos Exercícios 9-20, determine a integral e indefinida e verifique seu resultado por meio de derivação.

∫ v - 1 2 d v  

Passo 1

Para determinarmos a integral indefinida buscaremos um resultado da seguinte forma: ∫ f ( v ) d v   =   F ( v )   +   C , onde temos C representando uma constante arbitrária de integração e F ( v ) como a função primitiva. Entretanto, já sabemos ∫ v n d t   = v n + 1 n + 1 +   C . Então, resta determinar n , que nesse caso é - 1 2 , e substituir na fórmula

∫ v - 1 2 d v     = v -   1 2 + 1 -   1 2 + 1     +   C   =   2 v 1 2   +   C .  

Passo 2

Agora vamos testar se o resultado obtido está correto por meio da derivada da primitiva mais a constante de integração:

d d v [   2 v 1 2   +   C ]   = d d v [ 2 v 1 2   ]   +   d d v [ C ]   = 2 ⋅ 1 2 ⋅ v 1 2 - 1   +   0   = v - 1 2   ,

onde d d v [ C ]   =   0 , por ser a derivada de uma constante.

Resposta

  2 v 1 2   +   C