Nos Exercícios 9-20, determine a integral e indefinida e verifique seu resultado por meio de derivação.

∫ 3 t 4 d t  

Passo 1

Partindo da relação ∫ t n d t   = t n + 1 n + 1 +   C onde temos C representando uma constante arbitrária de integração, e lembrando que termos constantes podem sair da integral obtemos o seguinte resultado

∫ 3 t 4 d t   =   3   ∫ t 4 d t   =   3   ⋅ t 4 + 1 4 + 1     +   C   =   3 5 t 5   +   C .  

Passo 2

Agora, vamos conferir se o resultado do passo anterior está correto. Para tanto, verificaremos a derivada da primitiva mais a constante de integração. Sendo assim, obtemos

d d t [     3 5 t 5   +   C ]   = d d t [ 3 5 t 5 ]   +   d d t [ C ]   =   3 5 ⋅ 5 t 4   +   0   = 3 t 4 ,  

onde d d t [ C ]   =   0 , por ser a derivada de uma constante. Com isso, vimos que o resultado do Passo 1 está correto.

Resposta

3 5 t 5   +   C