Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.

y = (x - 2)^3

Passo 1

Determinaremos os pontos críticos a partir da derivada igual a zero e descobriremos em quais pontos ela se anula. Então,

y ' = d y d x   = d d x   [ ( x - 2 ) 3 ]   =   3 ⋅ ( x   - 2 ) 2 ⋅ 1   =   3 ⋅ ( x   - 2 ) 2  

y '   =   0   ⇒     3 ⋅ ( x   - 2 ) 2 =   0   ⇒ ( x - 2 ) ( x     -   2 )   =   0   ⇒   x   = 2  

Nos fornecendo um ponto crítico e necessitando de dois intervalos de teste, onde temos: ( - ∞ , 2 ) e ( 2 , ∞ ) .

Passo 2

Agora que sabemos os intervalos de teste, vamos testar se y ' é positivo ou negativo nesses intervalos. Como y ' ( x ) =   3 ⋅ ( x   - 2 ) 2   > 0 , pois números elevados ao quadrado são sempre positivos. Ou seja, esse termo quadrático garantirá o sinal positivo da derivada função para qualquer valor de x .

Passo 3

O gráfico da função pode ser visto abaixo e corresponde ao que encontramos nos nossos cálculos.

Resposta

y é crescente nos intervalos ( - ∞ , 2 ) e ( 2 , ∞ ) , com número crítico em x   = 2 .