Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.

y = -x^2 + 2x

Passo 1

Começamos calculando a derivada da função

y ' = d y d x = d d x ( - x 2 + 2 x ) = - 2 x + 2

Assim, a derivada é nula quando - 2 x + 2 = 0 , ou seja, quando x = 1 . Esse é o único número crítico dessa função.

Passo 2

Agora sabemos que temos dois intervalos de teste: ( - ∞ , 1 ) e ( 1 , ∞ ) . Vamos estudar o sinal da derivada nesses intervalos:

  • ( - ∞ , 1 )

x < 1 ⇒ 2 x < 2 ⇒ y ' = 2 x - 2 < 0

Assim, y ' < 0 indica que a função é decrescente nesse intervalo.

  • ( 1 , ∞ )

x > 1 ⇒ 2 x > 2 ⇒ y ' = 2 x - 2 > 0

Nesse caso, y ' > 0 indica que a função é crescente nesse intervalo.

Passo 3

O gráfico da função é dado abaixo e corresponde ao que obtivemos nos cálculos:

Resposta

y é crescente em ( - ∞ , 1 ) e decrescente em ( 1 , ∞ ) , com número crítico x = 1 .