Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.

y = x 2 - 6 x

Passo 1

Para determinar os pontos críticos, precisamos calcular a derivada e descobrir em que pontos ela se anula:

y ' = d y d x   = d d x   ( x 2 - 6 x )   =   2 ⋅ x   - 6  

y '   =   0   ⇒   2 ⋅ x   - 6 =   0   ⇒ x   =   3

Temos um ponto crítico, gerando dois intervalos de teste: ( - ∞ , 3 ) e ( 3 , ∞ ) .

Passo 2

Agora que sabemos os intervalos de teste, vamos testar se y ' é positivo ou negativo nesses intervalos para podermos determinar o comportamento da função. Como y ' = 2 ⋅ x   -   6 , então vamos testar os sinais. Assim,

  • ( - ∞ , 3 ) :

Aqui, x <   3 . Assim

x < 3 ⇒ 2 ⋅ x <   6   ⇒ 2 x   - 6   < 6   - 6   =   0   ⇒ 2 ⋅   x   - 6   <   0

Então, y ' <   0 . Logo, a função y é decrescente no intervalo ( - ∞ , 3 ) .

  • ( 3 , ∞ ) :

Aqui, x >   3 . Assim

x > 3 ⇒ 2 x > 6 ⇒ 2 x   - 6   >   6   - 6     =   0   ⇒ 2 x   - 6   >   0

Daí, y '     >   0 . Logo, a função y é crescente no intervalo ( 3 ,   ∞ ) .

Passo 3

O gráfico da função pode ser visto abaixo e corresponde ao que encontramos nos nossos cálculos.

Resposta

y é decrescente em ( - ∞ , 3 ) e crescente em ( 3 , ∞ ) , com número crítico em x   = 3 .