Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.

f(x) = raiz(x^2 - 1)

Passo 1

Antes de calcular a derivada e descobrir os números críticos, temos que perceber que essa função não está definida para todos os valores de x . Como temos uma raíz, os termos dentro dessa raiz devem ser maiores ou igual a 0 para que a função tenha valores reais. Então, devemos ter

x 2 - 1 ≥ 0 ⇒ x 2 ≥ 1   ⇒ 1 ≤ x ,   x ≤ - 1

O intervalo - 1 < x < 1 é “proibido”, ou seja, a função não é definida neste intervalo. Agora sim podemos calcular a derivada e os pontos críticos:

f ' ( x ) = d d x x 2 - 1 = d d x ( x 2 - 1 ) 1 / 2 = 1 2 ( x 2 - 1 ) 1 / 2 - 1 ⋅ 2 x = x ( x 2 - 1 ) 1 / 2

O único ponto onde a derivada se anula é x = 0 , mas a função não está definida nesse ponto. Logo, não temos pontos críticos.

Passo 2

Mesmo não tendo pontos críticos, podemos estudar o crescimento da função nos dois intervalos onde ela é definida: ( - ∞ , - 1 ) e ( 1 , ∞ ) . O denominador ( x 2 - 1 ) 1 / 2 é sempre positivo porque a própria função deve ser definida para x 2 - 1 ≥ 0 . Então, devemos nos preocupar somente com o sinal de x . Em ( - ∞ , - 1 ) , x < 0 , então f ' ( x ) < 0 e a função é decrescente nesse intervalo. Já no intervalo ( 1 , ∞ ) , x > 0 , então f ' ( x ) > 0 e a função é crescente nesse intervalo.

Passo 3

O comportamento de f ( x ) que obtivemos nos cálculos pode ser observado no gráfico abaixo:

Resposta

f ( x ) em é decrescente em ( - ∞ , - 1 ) e crescente em ( 1 , ∞ ) . Não há pontos críticos, apenas a descontinuidade entre x = - 1 e x = 1 .