Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.

y = x^(2/3) - 4

Passo 1

Determinaremos os pontos críticos a partir da derivada e descobriremos em quais pontos ela se anula. Então,

y ' = d y d x   = d d x   ( x 2 / 3 - 4 )   =   2 3 ⋅ x - 1 3   ≠ 0     .

Ou seja, percebemos que não existe nenhum número x para o qual a derivada seja nula. Então, não temos um ponto crítico.

Passo 2

Agora analisaremos o crescimento da função para x   → -   ∞ e x   →   ∞ . Porém, temos que notar que y ' =   2 3 ⋅ x - 1 3 = 2 3   x 1 / 3 = 2 3   x 3 , onde temos a raiz cúbica de um número x . Logo, o termo dentro da raiz cúbica assumirá valores negativos, quando x   → -   ∞ , e valores positivos, quando x   →   ∞ , como consequência, a raiz cúbica assumirá o sinal da função x . Assim, y ' > 0 para os valores de x   →   ∞ e y ' < 0 para os valores de x   →   - ∞ . Indicando que a função assume valores crescentes quando x > 0 e decrescentes quando x < 0 .

Passo 3

Esse comportamento pode ser observado no gráfico da função. Apesar da função não ter ponto crítico, vemos que ela tem um “bico” em x = 0 , ou seja, uma descontinuidade.

Resposta

y ' > 0 para os valores de x   ∈   ( 0 , ∞ ) e y ' < 0 para os valores de x   ∈ ( - ∞ , 0 ) . Além disso, a função não possui número crítico mas tem uma descontinuidade em x = 0 .