Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.

g(x) = (x + 2^2)

Passo 1

Para determinar os pontos críticos, precisamos calcular a derivada e descobrir em que pontos ela se anula:

g ' ( x ) = d d x [ ( x + 2 ) 2 ]   =   2 ⋅   ( x   +   2 ) ⋅   1   =   2 ⋅ x   +   4  

g ' ( x )   =   0   ⇒   2 ⋅ x   + 4   =   0   ⇒ x   =   - 2

Temos um ponto crítico, ou seja, sendo dois intervalos de teste: ( - ∞ , - 2 ) e ( - 2 , ∞ ) .

Passo 2

Agora que sabemos os intervalos de teste, vamos testar se g ' ( x ) é positivo ou negativo nesses intervalos. Como g ' ( x ) = 2 x   +   4 , então vamos testar os sinais de 2 ⋅ x   +   4 . Assim,

  • ( - ∞ , - 2 ) :

Aqui, x < - 2 . Assim

x < - 2 ⇒ 2 ⋅ x < - 4   ⇒ 2 ⋅ x   +   4   < - 4   + 4   =   0   ⇒ 2 ⋅ x   +   4   <   0

Então, g ' ( x ) <   0 . Logo, a função g ( x ) é decrescente no intervalo ( - ∞ ,   - 2 ) .

  • ( - 2 , ∞ ) :

Aqui, x > - 2 . Assim

x > - 2 ⇒ 2 ⋅ x > - 4   ⇒ 2 ⋅ x   +   4   > - 4   + 4   =   0   ⇒ 2 ⋅ x   +   4   >   0

Então, g ' ( x )     >   0 . Logo, a função g ( x ) é crescente no intervalo ( - 2 ,   ∞ ) .

Passo 3

O gráfico da função pode ser visto abaixo e corresponde ao que encontramos nos nossos cálculos.

Resposta

g ( x ) é decrescente em ( - ∞ , - 2 ) e crescente em ( - 2 , ∞ ) , com número crítico em x   = - 2 .