Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.

f(x) = raiz(9 - x^2)

Passo 1

Antes de mais nada, devemos notar que a função só é definida para 9   ≤     x 2 , ou seja, no intervalo

- 3   ≤   x   ≤ 3 . Agora, vamos calcular a derivada da função e verificar em que pontos ela é nula:

f ' ( x ) = d d x 9   -   x 2 = d d x ( 9   -   x 2 ) 1 / 2 = 1 2 ( 9   -   x 2 ) 1 / 2 - 1 ⋅ ( - 2 x ) = - x ( 9   -   x 2 ) 1 / 2

Então, f ' ( x ) = 0 quando x = 0 . Esse é o único número crítico para essa função.

Passo 2

Nesse caso, temos os seguintes intervalos de teste: ( - 3,0 ) e ( 0,3 ) . Então, vamos estudar o sinal da derivada nesses intervalos. Devemos notar que o denominador é sempre positivo devido à própria definição da função. Logo, só precisamos testar o sinal de - x . Em ( - 3,0 ) , temos x < 0 de modo que f ' ( x ) > 0 e a função é crescente no intervalo. Por outro lado, em ( 0,3 ) , temos x > 0 . Logo, f ' ( x ) < 0 e a função é decrescente no intervalo.

Passo 3

O comportamento que obtivemos nos nossos cálculos pode ser observado no gráfico da função.

Resposta

f ( x ) é crescente em ( - 3,0 ) e decrescente em ( 0,3 ) , com número crítico x = 0 .