Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.

y = x^3 - 6 * x^2

Passo 1

Determinaremos os pontos críticos a partir da derivada e descobriremos em quais pontos ela se anula. Então,

y ' = d y d x   = d d x   ( x 3 - 6 x 2 )   =   3 ⋅ x 2   - 12 ⋅ x  

y '   =   0   ⇒   3 ⋅ x 2   - 12 x =   0   ⇒ 3 ⋅ x ( x     - 4 )   =   0   ⇒   x   =   0 ,   x   = 4  

obtivemos dois pontos críticos, ou seja, necessitamos de três intervalos de teste, onde temos: ( - ∞ , 0 ) , ( 0,4 ) e ( 4 , ∞ ) .

Passo 2

Partindo dos pontos de teste do passo 1, iremos testar se y ' é positivo ou negativo nesses intervalos. Como y ' = 3 ⋅ x ( x     - 4 ) , então é mais fácil testar os sinais de 3 x e x - 4 separadamente. Vamos lá?

  • ( - ∞ , 0 ) :

Temos x <   0 . Assim

x < 0 ⇒ 3 x <   0

x <   0   ⇒   x - 4   < - 4 ⇒ x - 4   < 0

Ambos os termos são negativos, então a multiplicação é positiva. Ou seja, y ' > 0 nos informando que a função é crescente no intervalo ( - ∞ , 0 ) .

  • ( 0,4 ) :
  • Temos

    0 < x < 4 ⇒ 0   <   3 x < 12 ⇒ 3 x > 0  

    0 < x < 4 ⇒ - 4   <   x   - 4   <   0   ⇒   x   - 4   <   0

    Um dos termos é negativo e o outro positivo, então a multiplicação é negativa. Ou seja, y ' < 0 e a função é decrescente no intervalo ( 0,4 ) .

  • ( 4 , ∞ )

Nesse intervalo, temos

4 < x ⇒ 12 <   3 x ⇒ 3 x   > 0  

4 < x ⇒ 4 -   4 < x   - 4 ⇒ x   - 4 > 0

Logo, y ' > 0 e a função é crescente no intervalo ( 4 , ∞ ) .

Passo 3

A partir do gráfico, vemos que a função é crescente nos intervalos ( - ∞ , 0 ) e ( 4 , ∞ ) e decrescente no intervalo ( 0,4 ) , exatamente o que encontramos através da derivada.

Resposta

y é crescente em ( - ∞ , 0 ) e ( 4 , ∞ ) e decrescente em ( 0,4 ) , com os pontos críticos em x   =   0 e x   =   4 .