Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.

24. f(x) = x^2 + 8x + 10

Passo 1

Fala pessoal! Prontos para mais uma questão de funções crescente e decrescentes? Aqui, nós começamos calculando a derivada da função

f ' ( x ) = d f d x = d d x ( x 2 + 8 x + 10 ) = 2 x + 8

onde utilizamos d d x ( x n ) = n x n - 1 e o fato que a derivada de uma constante é nula. O próximo passo é obter os números críticos da função.

Passo 2

Os números críticos são obtidos nos pontos em que a derivada vai a zero

2 x + 8 ⇒ 2 x = - 8 ⇒ x = - 4

Então, x = - 4 é o único número crítico da função e temos dois intervalos a serem estudados: ( - ∞ , - 4 ) e ( - 4 , ∞ ) :

  • ( - ∞ , - 8 ) :
  • x < - 4 ⇒ 2 x < - 8 ⇒ f ( x ) = 2 x + 8 < 0

    Como a derivada é negativa, então a função é decrescente nesse intervalo.

  • ( 2 , ∞ )

x > - 4 ⇒ 2 x > - 8 ⇒ f ( x ) = 2 x + 8 > 0

Como a derivada é positiva, então a função é crescente nesse intervalo.

Passo 3

Agora traçamos o gráfico da função para verificar nossos resultados.

Vemos, no gráfico acima, decrescente em ( - ∞ , - 4 ) , crescente em ( - 4 , ∞ ) e tem ponto crítico em x = - 4 .

Resposta

Ponto crítico em x = - 4 , decrescente em ( - ∞ , - 4 ) , crescente em ( - 4 , ∞ ) .