Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.

31. f(x) = x / (x^2 + 4)

Passo 1

Galera, nessa questão temos que notar que f ( x ) = x x 2 + 4 é o quociente de duas funções, g ( x ) = x e h ( x ) = x 2 + 4 . Nesse caso, devemos usar a regra do quociente para calcular a derivada, lembrando que g ' ( x ) = 1 e h ' ( x ) = 2 x :

f ' ( x ) = d f d x = d d x g h = g ' ⋅ h - g ⋅ h ' h 2 = 1 ⋅ ( x 2 + 4 ) - x ⋅ ( 2 x ) ( x 2 + 4 ) 2 = x 2 + 4 - 2 x 2 ( x 2 + 4 ) 2 = - x 2 + 4 ( x 2 + 4 ) 2 = - ( x 2 - 4 ) ( x 2 + 4 ) 2 = - ( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x 2 + 4 ) 2

f ' ( x ) = ( 2 - x ) ( x + 2 ) ( x 2 + 4 ) 2

onde usamos a relação x 2 - b 2 = ( x - b ) ( x + b ) .

Passo 2

A derivada f ' ( x ) = ( 2 - x ) ( x + 2 ) ( x 2 + 4 ) 2 será nula quando o numerador ( 2 - x ) ( x + 2 ) for nulo. Ou seja, devemos ter

( 2 - x ) = 0 ⇒ x = 2

ou

( x + 2 ) = 0 ⇒ x = - 2

para que a derivada seja igual a zero. Assim, x = - 2 e x = 2 são os números críticos da função, que dividem o intervalo ( - ∞ , ∞ ) em três intervalos de teste: ( - ∞ , - 2 ) , ( - 2,2 ) e ( 2 , ∞ ) .

Agora só falta determinar o sinal da derivada nesses intervalos para saber se a função é crescente ou decrescente neles. O denominador na derivada é sempre positivo porque está elevado ao quadrado. Então, temos que testar o sinal do numerador, mas neste caso basta testar o sinal de ( 2 - x ) e ( x + 2 ) individualmente:

  • ( - ∞ , - 2 )
  • x < - 2 ⇒   x + 2 < 0

    e

    x < - 2 ⇒   x - 2 < - 4 < 0 ⇒ 2 - x > 0

    Nesse caso, o fator 2 - x é positivo enquanto o fator x + 2 é negativo no intervalo. O sinal de f ' ( x ) é negativo e a função é decrescente no intervalo.

  • ( - 2,2 )
  • - 2 < x < 2 ⇒   - 4 < x - 2 < - 2 < 0 ⇒ 2 - x > 0  

    - 2 < x < 2 ⇒   0 < x + 2 < 4

    Com isso, vemos que ambos os fatores são positivos e a derivada é positiva. Logo, a função é crescente.

  • ( 2 , ∞ )

2 < x ⇒ 0 < x - 2 ⇒ 2 - x > 0

2 < x ⇒ 4 < x + 2 ⇒ 0 < x + 2

Temos um fator positivo e um negativo, então a derivada é negativa e a função é decrescente.

Passo 3

No gráfico da função, traçado abaixo, podemos confirmar que a função decresce em ( - ∞ , - 2 ) , cresce em ( - 2,2 ) , e decresce novamente em ( 2 , ∞ ) . Podemos perceber também que em x = - 2 , e x = 2 a função muda o seu crescimento.

Resposta

Pontos críticos x = - 2 e x = 2 , decrescente em ( - ∞ , - 2 ) e ( 2 , ∞ ) e crescente em ( - 2,2 ) .