Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.
31.
Passo 1
Galera, nessa questão temos que notar que é o quociente de duas funções, e . Nesse caso, devemos usar a regra do quociente para calcular a derivada, lembrando que e :
onde usamos a relação .
Passo 2
A derivada será nula quando o numerador for nulo. Ou seja, devemos ter
ou
para que a derivada seja igual a zero. Assim, e são os números críticos da função, que dividem o intervalo em três intervalos de teste: , e .
Agora só falta determinar o sinal da derivada nesses intervalos para saber se a função é crescente ou decrescente neles. O denominador na derivada é sempre positivo porque está elevado ao quadrado. Então, temos que testar o sinal do numerador, mas neste caso basta testar o sinal de e individualmente:
e
Nesse caso, o fator é positivo enquanto o fator é negativo no intervalo. O sinal de é negativo e a função é decrescente no intervalo.
Com isso, vemos que ambos os fatores são positivos e a derivada é positiva. Logo, a função é crescente.
Temos um fator positivo e um negativo, então a derivada é negativa e a função é decrescente.
Passo 3
No gráfico da função, traçado abaixo, podemos confirmar que a função decresce em , cresce em , e decresce novamente em . Podemos perceber também que em , e a função muda o seu crescimento.

Resposta
Pontos críticos e , decrescente em e e crescente em .