Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.

23. f(x) = -2*x^2 + 4*x + 3

Passo 1

Para resolver essa questãozinha, começamos calculando a derivada da função. Para tanto, temos que lembrar que d d x ( x n ) = n x n - 1 . Então,

f ' ( x ) = d f d x = d d x ( - 2 x 2 + 4 x + 3 ) = - 2 ⋅ 2 x + 4 + 0 = - 4 x + 4

Passo 2

Com a derivada da função determinada, agora verificamos em que pontos essa derivada vai a zero. Em outras palavras, devemos ter o(s) seguinte(s) ponto(s) crítico(s):

- 4 x + 4 = 0 ⇒ 4 x = 4 ⇒ x = 1  

Então, x = 1 é um ponto crítico que divide o domínio da função em dois intervalos: ( - ∞ , 1 ) e ( 1 , ∞ ) . Falando em domínio da função, o domínio da função f ( x ) = - 2 x 2 + 4 x + 3 é ( - ∞ , ∞ ) . Ou seja, a função é bem definida para qualquer valor de x (não temos nenhuma descontinuidade ou algo do tipo).

Para avaliar o crescimento da função em cada intervalo, temos que verificar se a função é negativa (decrescente) ou positiva (crescente) no intervalo:

  • ( - ∞ , 1 ) :
  • x < 1 ⇒ 4 x < 4 ⇒ - 4 x > - 4 ⇒ f ( x ) = - 4 x + 4 > 0

    A função é crescente nesse intervalo.

  • ( 2 , ∞ )

x > 1 ⇒ 4 x > 4 ⇒ - 4 x < - 4 ⇒ f ( x ) = - 4 x + 4 < 0

A função é decrescente nesse intervalo.

Passo 3

Para checar nossos resultados, vamos traçar o gráfico dessa função.

No gráfico acima vemos claramente que a função é crescente em ( - ∞ , 2 ) e decrescente em ( 2 , ∞ ) e tem ponto crítico em x = 2 .

Resposta

Ponto crítico em x = 2 , crescente em ( - ∞ , 2 ) e decrescente em ( 2 , ∞ ) .