Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.

29. f(x) = x^4 - 2 * x^3

Passo 1

E vamos que vamos para mais uma resolução. A função f ( x ) =   x 4 - 2 x 3 é polinomial, ou seja, ela é representada por termos do tipo x n . Então para calcular a derivada dessa função, temos que lembrar da fórmula d d x ( x n ) = n x n - 1 . Agora ficou mais fácil, né? Olha só como vai ficar a derivada:

f ' ( x ) = d f d x = d d x ( x 4 - 2 x 3 ) = 4 x 4 - 1 - 3 ⋅ 2 x 3 - 1 = 4 x 3 - 6 x 2

Passo 2

Tudo certinho até agora? Então vamos continuar calculando os números críticos, que são os pontos onde a derivada se anula. Assim, temos uma equação de 3º grau 4 x 3 - 6 x 2 = 0 . Vamos tentar manipular essa equação para obter suas raízes

4 x 3 - 6 x 2 = 0 ⇒ 2 ( 2 x 3 - 3 x 2 ) = 0 ⇒ 2 x 2 ( 2 x - 3 ) = 0 ⇒ x 2 ( 2 x - 3 ) = 0

Nesse caso, devemos ter x 2 = 0 ou 2 x - 3 = 0 . No primeiro caso, temos x = 0 e no segundo temos x = 3 / 2 = 1,5 . Então esses são os números críticos da função. Além disso, vamos ter três intervalos de teste: ( - ∞ , 0 ) , ( 0,3 / 2 ) e ( 3 / 2 , ∞ ) . Para saber se a função é crescente ou decrescente, temos que saber se a derivada é positiva ou negativa num intervalo. Como um número elevado ao quadrado sempre tem resultado positivo ou nulo, isto é x 2 ≥ 0 , então só temos que testar o sinal de 2 x - 3 :

  • ( - ∞ , 0 )
  • x < 0 ⇒ 2 x < 0 ⇒ 2 x - 3 < - 3 < 0

    A derivada é negativa no intervalo. Logo, a função é decrescente no intervalo.

  • ( 0,3 / 2 )

0 < x < 3 / 2 ⇒ 0 < 2 x < 3 ⇒ - 3 < 2 x - 3 < 0

Nesse intervalo, a derivada também é negativa, o que significa que a função é decrescente.

  • ( 3 / 2 , ∞ )

x > 3 / 2 ⇒ 2 x > 3 ⇒ 2 x - 3 > 0

Nesse caso, a derivada é positiva, então a função é crescente

Passo 3

No passo anterior descobrimos que a função é decrescente em ( - ∞ , 0 ) e ( 0,3 / 2 ) (ou seja, decrescente no intervalo ( - ∞ , 3 / 2 ) ) e crescente em ( 3 / 2 ,   ∞ ) . O gráfico da função, abaixo, mostra justamente isso e podemos notar que x = 3 / 2 = 1,5 é o ponto em que a função deixa de ser decrescente e passa a ser crescente. Apesar de x = 0 ser um número crítico, a função não muda seu comportamento nesse ponto.

Resposta

Pontos críticos x = 0 e   x = 3 / 2 , decrescente em ( - ∞ , 3 / 2 ) e crescente em ( 3 / 2 ,   ∞ ) .