Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.

21. g(x) = (x - 1)^(1/3)

Passo 1

Fala, galerinha! Tudo de boas? Para resolver essa questão precisamos seguir os seguintes passos: 1) calcular a derivada da função; 2) descobrir para quais valores de x a derivada é nula e a partir disso determinar os intervalos de crescimento; 3) verificar se a função é crescente ou decrescente em cada intervalo.

Então vamos lá começar. A derivada de g ( x ) = ( x - 1 ) 1 / 3 é obtida usando a regra da cadeia ( d d x [ g ( h ( x ) ) ] = g ' ( h ( x ) ) ⋅ h ' ( x ) ) e a relação d d x ( x n ) = n x n - 1 . Para usar a regra da cadeia, temos que notar que a função “de dentro” é h ( x ) = x - 1 , enquanto a função “de fora” é g ( x ) = x 1 / 3 . Assim, g ' ( x ) = 1 3 x 1 3 - 1 = 1 3 x - 2 / 3 = 1 3 x 2 / 3 , mas temos que calcular essa derivada em h ( x ) no lugar de x . Logo, temos g ' ( h ( x ) ) = 1 3 g 2 / 3 = 1 3 ( x - 1 ) 2 / 3 . Por outro lado, h ' ( x ) = d d x ( x - 1 ) = 1 . Agora, substituímos na regra da cadeia e obtemos a derivada da função

d d x [ g ( h ( x ) ] = g ' ( h ( x ) ) ⋅ h ' ( x ) = 1 3 ( x - 1 ) 2 / 3 ⋅ 1 = 1 3 ( x - 1 ) 2 / 3

Passo 2

No caso dessa função, não temos nenhum valor de x que faça a derivada ser nula. Isso quer dizer que o intervalo aberto a ser analisado é ( - ∞ , ∞ ) . A função é definida para todos os valores de x , então esse é um intervalo válido.

Agora, vamos ver o crescimento da função nesse intervalo. Antes, devemos notar que a derivada é sempre positiva

x < 1 ⇒ x - 1 < 0 ⇒ ( x - 1 ) 2 > 0 ⇒ 1 / 3 ( x - 1 ) 2 / 3 > 0

x > 1 ⇒ x - 1 > 0 ⇒ ( x - 1 ) 2 > 0 ⇒ 1 / 3 ( x - 1 ) 2 / 3 > 0

Portanto, a função é sempre crescente.

Passo 3

No gráfico da função, dado abaixo, podemos observar que a função é sempre crescente, como discutido no passo anterior.

Resposta

Crescente em ( - ∞ , ∞ ) .