Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.
21.
Passo 1
Fala, galerinha! Tudo de boas? Para resolver essa questão precisamos seguir os seguintes passos: 1) calcular a derivada da função; 2) descobrir para quais valores de a derivada é nula e a partir disso determinar os intervalos de crescimento; 3) verificar se a função é crescente ou decrescente em cada intervalo.
Então vamos lá começar. A derivada de é obtida usando a regra da cadeia () e a relação . Para usar a regra da cadeia, temos que notar que a função “de dentro” é , enquanto a função “de fora” é . Assim, , mas temos que calcular essa derivada em no lugar de . Logo, temos . Por outro lado, . Agora, substituímos na regra da cadeia e obtemos a derivada da função
Passo 2
No caso dessa função, não temos nenhum valor de que faça a derivada ser nula. Isso quer dizer que o intervalo aberto a ser analisado é . A função é definida para todos os valores de , então esse é um intervalo válido.
Agora, vamos ver o crescimento da função nesse intervalo. Antes, devemos notar que a derivada é sempre positiva
Portanto, a função é sempre crescente.
Passo 3
No gráfico da função, dado abaixo, podemos observar que a função é sempre crescente, como discutido no passo anterior.

Resposta
Crescente em .