Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.
27.
Passo 1
Vamos partir para mais uma questão, galera. Primeiro, temos que calcular a derivada da função para para determinar os números críticos. Nesse caso, temos a multiplicação de duas funções: e . Assim, usando a regra do produto, obtemos
onde utilizamos e .
Passo 2
Antes de calcular os números críticos, temos que perceber que a função não está definida para todos os valores de . Como temos o fator , então, para termos como resultado um número real, tudo que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero. Assim, . Nesse caso, a função está definida no intervalo .
A derivada é igual a zero quando o numerador é igual a zero. Ou seja,
Temos apenas um número crítico, que é , o que significa que temos dois intervalos de teste: e . Vamos testar o sinal da derivada em cada um desses intervalos. Para tanto, basta testar o sinal do numerador:
Logo, a derivada é negativa no intervalo e a função é decrescente.
Agora, a derivada tem sinal positivo. Logo, a função é crescente.
Passo 3
A partir dos resultados do passo anterior, podemos concluir que a função é decrescente em e crescente em . O mesmo pode ser observado no gráfico da função, que é dado abaixo:

Resposta
Ponto crítico , decrescente em e crescente em .