Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.

27. f(x) = x * raiz(x + 1)

Passo 1

Vamos partir para mais uma questão, galera. Primeiro, temos que calcular a derivada da função para para determinar os números críticos. Nesse caso, temos a multiplicação de duas funções: g ( x ) = x e h ( x ) = x + 1 . Assim, usando a regra do produto, obtemos

f ' ( x ) = d d x ( g ( x ) h ( x ) ) = d g d x h + g d h d x = 1 ⋅ x + 1 + x ⋅ 1 2 x + 1 = 2 ( x + 1 ) 2 + x 2 x + 1 = 2 x + 2 + x 2 x + 1 = 3 x + 2 2 x + 1

onde utilizamos d g d x = 1 e d h d x = 1 2 ( x + 1 ) 1 2 - 1 = 1 2 ( x + 1 ) -   1 2 .

Passo 2

Antes de calcular os números críticos, temos que perceber que a função não está definida para todos os valores de x . Como temos o fator x + 1 , então, para termos como resultado um número real, tudo que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero. Assim, x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ - 1 . Nesse caso, a função está definida no intervalo [ - 1 , ∞ ) .

A derivada é igual a zero quando o numerador é igual a zero. Ou seja,

3 x + 2 = 0 ⇒ x = - 2 3

Temos apenas um número crítico, que é x = - 2 3 , o que significa que temos dois intervalos de teste: ( - 1 , - 2 / 3 ) e ( - 2 / 3 ,   ∞ ) . Vamos testar o sinal da derivada em cada um desses intervalos. Para tanto, basta testar o sinal do numerador:

  • ( - 1 , - 2 / 3 )
  • x < - 2 / 3 ⇒ 3 x < - 2 ⇒ 3 x + 2 < 0

    Logo, a derivada é negativa no intervalo e a função é decrescente.

  • ( - 2 / 3 ,   ∞ )

x > - 2 / 3 ⇒ 3 x > - 2 ⇒ 3 x + 2 > 0

Agora, a derivada tem sinal positivo. Logo, a função é crescente.

Passo 3

A partir dos resultados do passo anterior, podemos concluir que a função é decrescente em ( - 1 , - 2 / 3 ) e crescente em ( - 2 / 3 ,   ∞ ) . O mesmo pode ser observado no gráfico da função, que é dado abaixo:

Resposta

Ponto crítico   x = - 2 / 3 , decrescente em ( - 1 , - 2 / 3 ) e crescente em ( - 2 / 3 ,   ∞ ) .