Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.
26.
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo bem com vocês? O primeiro passo para determinar os números críticos é calcular a derivada da função. Nesse caso, devemos lembrar da fórmula . Assim,
.
Agora que obtivemos a derivada, podemos calcular os números críticos.
Passo 2
Os números críticos são justamente os números que fazem a derivada se anular, ou seja, ir a zero. Então, para descobrir os números críticos, devemos igualar a derivada a zero e descobrir quais valores de satisfazem a equação:
Como resolvemos uma equação de segundo grau, temos duas soluções, que são os números críticos e . Além disso, ficamos com três intervalos de teste: , e . Uma vez que sabemos as raízes de , fica fácil fatorar essa expressão:
O motivo para essa fatoração é porque ela facilita bastante a nossa vida para descobrir se a derivada é positiva ou negativa. Assim, podemos testar o sinal de e . O sinal da derivada pode ser obtido a partir do produto desses dois fatores. Então vamos testar cada intervalo:
Nesse intervalo, , então e . Como a derivada tem sinal positivo no intervalo, a função é crescente.
Agora, . Por um lado, . Por outro lado, . Nesse caso, a derivada tem sinal negativo. Logo, a função é decrescente.
Nesse intervalo, , o que indica que e . Uma vez que a derivada é positiva, a função é crescente.
Na tabela abaixo, verificamos o sinal da derivada em alguns de teste:

Passo 3
A questão também pede para traçarmos o gráfico da função. No gráfico abaixo, podemos verificar que nossas conclusões do passo anterior estão corretas: em e a função é crescente enquanto em a função é decrescente.

Resposta
Pontos críticos e , crescente em e , decrescente .