Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.

26. f(x) = x^3 - 3x + 2

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo bem com vocês? O primeiro passo para determinar os números críticos é calcular a derivada da função. Nesse caso, devemos lembrar da fórmula d d x ( x n ) = n x n - 1 . Assim,

f ' ( x ) = d f d x = d d x ( x 3 - 3 x + 2 ) = 3 x 2 - 3 .

Agora que obtivemos a derivada, podemos calcular os números críticos.

Passo 2

Os números críticos são justamente os números que fazem a derivada se anular, ou seja, ir a zero. Então, para descobrir os números críticos, devemos igualar a derivada a zero e descobrir quais valores de x satisfazem a equação:

3 x 2 - 3 = 0 ⇒ 3 x 2 = 3 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = ± 1

Como resolvemos uma equação de segundo grau, temos duas soluções, que são os números críticos x = - 1 e x = 1 . Além disso, ficamos com três intervalos de teste: ( - ∞ , - 1 ) , ( - 1,1 ) e ( 1 ,   ∞ ) . Uma vez que sabemos as raízes de f ' ( x ) = 0 , fica fácil fatorar essa expressão:

f ' ( x ) = 3 x 2 - 3 = 0 ⇒ 3 ( x 2 - 1 ) = 0 ⇒ ( x 2 - 1 ) = ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 0

O motivo para essa fatoração é porque ela facilita bastante a nossa vida para descobrir se a derivada é positiva ou negativa. Assim, podemos testar o sinal de ( x - 1 ) e ( x + 1 ) . O sinal da derivada pode ser obtido a partir do produto desses dois fatores. Então vamos testar cada intervalo:

  • ( - ∞ , - 1 )
  • Nesse intervalo, x < - 1 < 1 , então ( x + 1 ) < 0 e ( x - 1 ) < 0 . Como a derivada tem sinal positivo no intervalo, a função é crescente.

  • ( - 1,1 )
  • Agora, - 1 < x < 1 . Por um lado, - 1 < x ⇒ 0 < ( x + 1 ) . Por outro lado, x < 1 ⇒ x - 1 < 0 . Nesse caso, a derivada tem sinal negativo. Logo, a função é decrescente.

  • ( 1 ,   ∞ )

Nesse intervalo, 1 < x , o que indica que ( x - 1 ) > 0 e ( x + 1 ) > 2 > 0 . Uma vez que a derivada é positiva, a função é crescente.

Na tabela abaixo, verificamos o sinal da derivada em alguns de teste:

Passo 3

A questão também pede para traçarmos o gráfico da função. No gráfico abaixo, podemos verificar que nossas conclusões do passo anterior estão corretas: em ( - ∞ , - 1 ) e ( 1 ,   ∞ ) a função é crescente enquanto em ( - 1,1 ) a função é decrescente.

Resposta

Pontos críticos   x = - 1 e x = 1 , crescente em ( - ∞ , - 1 ) e ( 1 ,   ∞ ) , decrescente ( - 1,1 ) .