Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.

32. f(x) = x^2 / (x^2 + 4)

Passo 1

Antes de mais nada, temos que notar que f ( x ) = x 2 x 2 + 4 é o quociente de duas funções, g ( x ) = x 2 e h ( x ) = x 2 + 4 . Usando a regra do quociente e lembrando que g ' ( x ) = 2 x e h ' ( x ) = 2 x , podemos calcular a derivada:

f ' ( x ) = d f d x = d d x g h = g ' ⋅ h - g ⋅ h ' h 2 = 2 x ⋅ ( x 2 + 4 ) - x 2 ⋅ ( 2 x ) ( x 2 + 4 ) 2 = 2 x 3 + 8 x - 2 x 3 ( x 2 + 4 ) 2 = 8 x ( x 2 + 4 ) 2

Passo 2

Já que ( x 2 + 4 ) 2 é sempre positivo porque está elevado ao quadrado, então só precisamos de 8 x para descobrir os números críticos e o crescimento da função. O número crítico é aquele para o qual a derivada se anula. Então,

f ' ( x ) = 8 x ( x 2 + 4 ) 2 = 0 ⇒ 8 x = 0 ⇒ x = 0

Pela equação anterior, vimos que x = 0 é o único ponto crítico para a função. Então, temos dois intervalos de teste ( - ∞ , 0 ) e ( 0 , ∞ ) . Nesses intervalos, temos

  • ( - ∞ , 0 )
  • x < 0 ⇒ 8   x < 0 ⇒ f ' ( x ) = 8 x ( x 2 + 4 ) 2 < 0

    Já que a derivada é negativa, então a função é decrescente no intervalo.

  • ( 0 , ∞ )

x > 0 ⇒ 8   x > 0 ⇒ f ' ( x ) = 8 x ( x 2 + 4 ) 2 > 0

Nesse intervalo, a derivada é positiva. Logo, a função é crescente.

Passo 3

No Passo 2, mostramos que a função é crescente em ( - ∞ , 0 ) e decrescente em ( 0 , ∞ ) . Esse comportamento também pode ser observado no gráfico da função, dado abaixo:

Resposta

Ponto crítico x = 0 , crescente em ( - ∞ , 0 ) e decrescente em ( - 2 , ∞ ) .