Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.

22. g(x) = (x - 1)^(2/3)

Passo 1

Essa questão é muito parecida com a questão anterior. Precisamos notar que temos g ( h ( x ) ), onde h ( x ) = x - 1 e g ( x ) = x 2 / 3 . Assim, pela regra da cadeia, obtemos

d d x [ g ( h ( x ) ) ] = g ' ( h ( x ) ) ⋅ h ' ( x ) = 2 3 ( x - 1 ) 1 / 3 ⋅ 1 = 2 3 ( x - 1 ) 1 / 3 ,

onde utilizamos h ' ( x ) = d d x ( x - 1 ) = 1 e g ' ( x ) = 2 3 x 2 3 - 1 = 2 3 x - 1 / 3 = 2 3 x 1 / 3 . Além disso, a função é definida para todos os valores de x , então ( - ∞ , ∞ ) é o domínio da função .

Passo 2

Como não temos nenhum valor de x que faça a derivada ser nula, o intervalo aberto a ser analisado é ( - ∞ , ∞ ) . Agora, temos que ver o crescimento da função nesse intervalo. Para tanto, devemos analisar o sinal da derivada:

x < 1 ⇒ x - 1 < 0 ⇒ ( x - 1 ) 1 / 3 < 0 ⇒ 2 / 3 ( x - 1 ) 1 / 3 < 0

x > 1 ⇒ x - 1 > 0 ⇒ ( x - 1 ) 1 / 3 > 0 ⇒ 2 / 3 ( x - 1 ) 1 / 3 > 0

Portanto, a função é decrescente para x < 1 , o que corresponde ao intervalo ( - ∞ , 1 ) e crescente para x > 1 , o que corresponde ao intervalo ( 1 , ∞ ) .

Passo 3

No último passo, traçamos o gráfico da função no qual podemos observar o comportamento discutido no passo anterior. No entanto, observamos que a função tem um “bico” em x = 1 , ou seja, uma descontinuidade. Isso pode ser notado observando, por exemplo, que a derivada não tem um limite definido nesse ponto

l i m x → 1 - 2 3 ( x - 1 ) 1 / 3 = - l i m x → 1 - 2 3 ( 1 - x ) 1 / 3 → - ∞

l i m x → 1 + 2 3 ( x - 1 ) 1 / 3 → ∞

Resposta

Decrescente em ( - ∞ , 1 ) , crescente em ( 1 , ∞ ) e descontínua em x = 1 .