Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.

28. f(x) = x * raiz(x - 1, 3)

Passo 1

Antes de começar essa questão, temos que prestar atenção no domínio da função. Como temos uma raiz cúbica, e raízes cúbicas de números negativos são permitidas, então o domínio da função é toda a reta real ( - ∞ , ∞ ) , isto é, a função é válida para qualquer valor de x .

Agora, temos que notar que f ( x ) =   x x - 1 3 é na verdade a multiplicação de duas funções, g ( x ) = x e h ( x ) = x - 1 3 = ( x - 1 ) 1 3 . Assim, usando a regra do produto, obtemos

f ' ( x ) = d d x ( g ( x ) h ( x ) ) = d g d x h + g d h d x = 1 ⋅ x - 1 3 + x ⋅ 1 3 ( x - 1 ) 2 3 = 3 ( x - 1 ) 3 3 + x 3 ( x - 1 ) 2 3 = 3 ( x - 1 ) + x 3 ( x - 1 ) 2 3

⇒ f ' ( x ) = 4 x - 3 3 ( x - 1 ) 2 3

onde utilizamos d g d x = 1 e d h d x = 1 3 ( x - 1 ) 1 3 - 1 = 1 3 ( x + 1 ) -   2 3 = 1 3 ( x - 1 ) 2 3 .

Passo 2

A raíz cúbica de um número negativo é negativa. Na derivada obtida no passo anterior, entretanto, temos ( x - 1 ) 2 dentro da raíz. Qualquer número elevado ao quadrado sempre vai ter como resultado um número positivo. Então, ( x - 1 ) 2 3 é sempre positivo e só precisamos testar o sinal de 4 x - 3 .

A derivada obtida anteriormente é igual a zero quando o numerador é igual a zero. Ou seja, quando

4 x - 3 ⇒ x = 3 4

Logo, x = 3 4 é o único número crítico da função e temos dois intervalos de teste: ( - ∞ , 3 / 4 ) e ( 3 / 4 ,   ∞ ) . Agora, vamos testar o sinal da derivada em cada um desses intervalos. Mas antes, tem um pequeno detalhe que devemos notar. A raíz cúbica de um número negativo é negativa. Na derivada obtida no passo anterior, entretanto, temos ( x - 1 ) 2 dentro da raíz. Qualquer número elevado ao quadrado sempre vai ter como resultado um número positivo. Então, ( x - 1 ) 2 3 é sempre positivo e só precisamos testar o sinal de 4 x - 3 . Temos

  • ( - ∞ , 3 / 4 )
  • x < 3 / 4 ⇒ 4 x < 3 ⇒ 4 x - 3 < 0

    Logo, a função é decrescente porque a derivada é negativa no intervalo.

  • ( - 3 / 4 ,   ∞ )

x > 3 / 4 ⇒ 4 x > 3 ⇒ 4 x - 3 > 0

Nesse intervalo, a derivada tem sinal positivo, o que significa que a função é crescente.

Passo 3

Resumindo o que encontramos no passo anterior: a função é decrescente em ( - ∞ , 3 / 4 ) e crescente em ( 3 / 4 ,   ∞ ) . Traçamos o gráfico da função e verificamos que esse resultado está certo. No gráfico abaixo, podemos notar que x = 3 / 4 = 0,75 é justamente o ponto em que a função deixa de ser decrescente e passa a ser crescente.

Resposta

Ponto crítico   x = 3 / 4 , decrescente em ( - ∞ , 3 / 4 ) e crescente em ( 3 / 4 ,   ∞ ) .