Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.
28.
Passo 1
Antes de começar essa questão, temos que prestar atenção no domínio da função. Como temos uma raiz cúbica, e raízes cúbicas de números negativos são permitidas, então o domínio da função é toda a reta real , isto é, a função é válida para qualquer valor de .
Agora, temos que notar que é na verdade a multiplicação de duas funções, e . Assim, usando a regra do produto, obtemos
onde utilizamos e .
Passo 2
A raíz cúbica de um número negativo é negativa. Na derivada obtida no passo anterior, entretanto, temos dentro da raíz. Qualquer número elevado ao quadrado sempre vai ter como resultado um número positivo. Então, é sempre positivo e só precisamos testar o sinal de .
A derivada obtida anteriormente é igual a zero quando o numerador é igual a zero. Ou seja, quando
Logo, é o único número crítico da função e temos dois intervalos de teste: e . Agora, vamos testar o sinal da derivada em cada um desses intervalos. Mas antes, tem um pequeno detalhe que devemos notar. A raíz cúbica de um número negativo é negativa. Na derivada obtida no passo anterior, entretanto, temos dentro da raíz. Qualquer número elevado ao quadrado sempre vai ter como resultado um número positivo. Então, é sempre positivo e só precisamos testar o sinal de . Temos
Logo, a função é decrescente porque a derivada é negativa no intervalo.
Nesse intervalo, a derivada tem sinal positivo, o que significa que a função é crescente.
Passo 3
Resumindo o que encontramos no passo anterior: a função é decrescente em e crescente em . Traçamos o gráfico da função e verificamos que esse resultado está certo. No gráfico abaixo, podemos notar que é justamente o ponto em que a função deixa de ser decrescente e passa a ser crescente.

Resposta
Ponto crítico , decrescente em e crescente em .