Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.

30. f(x) = (1/4 * x^4) - 2 * x^2

Passo 1

Bom galera, a função f ( x ) =   1 4 x 4 - 2 x 2 é polinomial, porque ela pode ser representada por termos do tipo x n . Para esse tipo de termo, a derivada é dada pela fórmula d d x ( x n ) = n x n - 1 . Então, só temos que identificar o valor de n e substituir na fórmula:

f ' ( x ) = d f d x = d d x ( 1 4 x 4 - 2 x 2 ) = 1 4 ⋅ 4 x 4 - 1 - 2 ⋅ 2 x 2 - 1 = x 3 - 4 x

Passo 2

Agora só precisamos ver em que pontos a derivada se anula para obter os números críticos. Nesse caso, temos uma equação de 3º grau x 3 - 4 x = 0 . Geralmente, não é muito simples resolver uma equação de 3º grau, mas podemos manipular essa equação para obter suas raízes

x 3 - 4 x = 0 ⇒ x ( x 2 - 4 ) = 0

Opa! Agora nós percebemos que devemos ter x = 0 , que já é um número crítico, ou x 2 - 4 = 0 . x 2 - 4 = 0 é uma equação de 2º grau, então podemos resolvê-la usando Bhaskara:

x = - ( 0 ) ± 0 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( - 4 ) 2 = ± 16 2 = ± 4 2 = ± 2

Então, x = - 2 , x = 0 e x = 2 são os nossos números críticos. Nesse caso, ( - ∞ , ∞ ) fica dividido em quatro intervalos de teste: ( - ∞ , - 2 ) , ( - 2,0 ) , ( 0,2 ) e ( 2 , ∞ ) . Agora temos que testar se a derivada é positiva ou negativa em cada um desses intervalos. Nesse caso, uma coisa que facilita bastante a nossa vida é fatorar a expressão da derivada. Como já sabemos as raízes de x ( x 2 - 4 ) = 0 , então podemos escrever

x ( x 2 - 4 ) = 0 ⇒ x ( x - 2 ) ( x + 2 ) = 0

Você pode verificar que x ( x - 2 ) ( x + 2 ) = x 3 - 4 x . Então, para testar o sinal da derivada, podemos simplesmente testar o sinal de x , ( x - 2 ) e ( x + 2 ) individualmente:

  • ( - ∞ , - 2 )
  • x < - 2 < 0 ⇒ x < 0 ,   x + 2 < 0 ,   x - 2 < - 4 < 0

    Na desigualdade acima, primeiro concluímos que x deve ser negativo, pois é menor que - 2 . Depois disso, somamos 2 em ambos os lados e concluímos que x + 2 < 0 . Depois, subtraímos 2 em ambos os lados da desigualdade inicial ( x < - 2 < 0 )e concluímos que x - 2 < 0 . Como os três fatores têm sinal negativo, então a derivada também tem sinal negativo. Logo, a função é decrescente.

  • ( - 2,0 )
  • - 2 < x < 0 ⇒ x < 0 ,   - 4 < x - 2 < - 2 < 0

    Ou seja, os fatores x e x - 2 são negativos nesse intervalo. Por outro lado,

    - 2 < x ⇒ 0 < x + 2

    Logo, o fator x + 2 é positivo no intervalo. Temos dois fatores negativos e um positivo, o que indica que o sinal de f ' ( x ) é positivo e a função é crescente no intervalo.

  • ( 0,2 )
  • Nesse intervalo, temos 0 < x < 2 , então já vemos de cara que o fator x é positivo. Para os demais fatores, temos

    0 < x < 2 ⇒ 2 < x + 2 < 4 ⇒ x + 2 > 0

    0 < x < 2 ⇒ - 2 < x - 2 < 0 ⇒ x + 2 < 0

    Agora, temos dois fatores positivos e um negativo. Consequentemente, a derivada é negativa e a função é decrescente no intervalo.

  • ( 2 , ∞ )

2 < x ⇒ 0 < x

2 < x ⇒ 0 < x - 2

2 < x ⇒ 4 < x + 2 ⇒ 0 < x + 2

Todos os fatores são positivos, então a derivada é positiva e a função é crescente.

Passo 3

Traçamos o gráfico da função abaixo. Nele, podemos confirmar as conclusões do Passo 2: a função decresce em ( - ∞ , - 2 ) , cresce em ( - 2,0 ) , decresce novamente em ( 0,2 ) e cresce novamente em ( 2 , ∞ ) . Podemos perceber também que x = - 2 , x = 0 e x = 2 são os números críticos e, nesses pontos, vemos a função mudar o seu crescimento.

Resposta

Pontos críticos x = - 2 , x = 0 e x = 2 , decrescente em ( - ∞ , - 2 ) e ( 0,2 ) e crescente em ( - 2,0 ) e ( 2 , ∞ ) .