Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.
30.
Passo 1
Bom galera, a função é polinomial, porque ela pode ser representada por termos do tipo . Para esse tipo de termo, a derivada é dada pela fórmula . Então, só temos que identificar o valor de e substituir na fórmula:
Passo 2
Agora só precisamos ver em que pontos a derivada se anula para obter os números críticos. Nesse caso, temos uma equação de 3º grau . Geralmente, não é muito simples resolver uma equação de 3º grau, mas podemos manipular essa equação para obter suas raízes
Opa! Agora nós percebemos que devemos ter , que já é um número crítico, ou . é uma equação de 2º grau, então podemos resolvê-la usando Bhaskara:
Então, , e são os nossos números críticos. Nesse caso, fica dividido em quatro intervalos de teste: , , e . Agora temos que testar se a derivada é positiva ou negativa em cada um desses intervalos. Nesse caso, uma coisa que facilita bastante a nossa vida é fatorar a expressão da derivada. Como já sabemos as raízes de , então podemos escrever
Você pode verificar que . Então, para testar o sinal da derivada, podemos simplesmente testar o sinal de , e individualmente:
Na desigualdade acima, primeiro concluímos que deve ser negativo, pois é menor que . Depois disso, somamos em ambos os lados e concluímos que . Depois, subtraímos em ambos os lados da desigualdade inicial ()e concluímos que . Como os três fatores têm sinal negativo, então a derivada também tem sinal negativo. Logo, a função é decrescente.
Ou seja, os fatores e são negativos nesse intervalo. Por outro lado,
Logo, o fator é positivo no intervalo. Temos dois fatores negativos e um positivo, o que indica que o sinal de é positivo e a função é crescente no intervalo.
Nesse intervalo, temos , então já vemos de cara que o fator é positivo. Para os demais fatores, temos
Agora, temos dois fatores positivos e um negativo. Consequentemente, a derivada é negativa e a função é decrescente no intervalo.
Todos os fatores são positivos, então a derivada é positiva e a função é crescente.
Passo 3
Traçamos o gráfico da função abaixo. Nele, podemos confirmar as conclusões do Passo 2: a função decresce em , cresce em , decresce novamente em e cresce novamente em . Podemos perceber também que , e são os números críticos e, nesses pontos, vemos a função mudar o seu crescimento.

Resposta
Pontos críticos , e , decrescente em e e crescente em e .