Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.

25. f(x) = 3 * x^3 + 12 * x^2 + 15 * x

Passo 1

Muito bem galera, nessa questão começamos calculando a derivada da função através da fórmula d d x ( x n ) = n x n - 1 . Assim,

f ' ( x ) = d f d x = d d x ( 3 x 2 + 12 x 2 + 15 x ) = 3 ⋅ 3 x 2 + 2 ⋅ 12 x + 15 = 9 x 2 + 24 x + 15

Muito bem, agora podemos obter os números críticos.

Passo 2

Para obter os números críticos temos que descobrir os pontos em que a derivada vai a zero. Ou seja, temos que resolver a equação de segundo grau

9 x 2 + 24 x + 15 = 0 ⇒ x = - 24 ± 2 4 2 - 4 ⋅ 9 ⋅ 15 2 ⋅ 9 = - 24 ± 576 - 540 18 = - 24 ± 36 18 = - 24 ± 6 18

⇒ x = - 18 / 18 = - 1 ,   x = - 30 / 18 = - 5 / 3

Então, nesse caso, temos dois números críticos   x = - 1 e x = - 5 / 3 . Assim, são três os intervalos de teste: ( - ∞ , - 5 / 3 ) , ( - 5 / 3 , - 1 ) e ( - 1 ,   ∞ ) . Além disso, conseguimos fatorar a expressão da derivada da seguinte forma

f ' ( x ) = 9 x 2 + 24 x + 15 = 0 ⇒ 3 ( 3 x 2 + 8 x + 5 ) = 0 ⇒ 3 ( x + 1 ) ( 3 x + 5 ) = 0

Ou seja, temos que testar o sinal dos fatores ( x + 1 ) e ( 3 x + 5 ) :

  • ( - ∞ , - 5 / 3 )
  • Nesse intervalo, x < - 5 / 3 < - 1 , então ( x + 1 ) < 0 e ( 3 x + 5 ) < 0 . Logo, a derivada tem sinal positivo no intervalo e, portanto, a função é crescente.

  • ( - 5 / 3 , - 1 )
  • Agora, - 5 / 3 < x < - 1 , de modo que ( x + 1 ) < 0 e ( 3 x + 5 ) > 0 . Como a derivada tem sinal negativo, a função é decrescente.

  • ( - 1 ,   ∞ )

Nesse intervalo, - 5 / 3 < - 1 < x . Então, ( x + 1 ) > 0 e ( 3 x + 5 ) > 0 . Então, a função é novamente crescente, uma vez que a derivada é positiva.

Na tabela abaixo, verificamos o sinal da derivada em alguns pontos para ilustrar o que acabamos de calcular:

Passo 3

Além da tabela, também podemos traçar o gráfico da função para verificar nossas conclusões.

Na figura acima, não fica bem claro o que acontece em ( - 5 / 3 , - 1 ) , por isso vamos dar um zoom nessa área:

Agora sim, ficou claro que a função é crescente em ( - ∞ , - 5 / 3 ) e ( - 1 ,   ∞ ) , decrescente em ( - 5 / 3 , - 1 ) , com pontos críticos   x = - 1 e x = - 5 / 3 .

Resposta

Pontos críticos   x = - 1 e x = - 5 / 3 , crescente em ( - ∞ , - 5 / 3 ) e ( - 1 ,   ∞ ) e decrescente em ( - 5 / 3 , - 1 ) .