Nos Exercícios 9-32, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função é crescente ou decrescente. Então, use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função.
25.
Passo 1
Muito bem galera, nessa questão começamos calculando a derivada da função através da fórmula . Assim,
Muito bem, agora podemos obter os números críticos.
Passo 2
Para obter os números críticos temos que descobrir os pontos em que a derivada vai a zero. Ou seja, temos que resolver a equação de segundo grau
Então, nesse caso, temos dois números críticos e . Assim, são três os intervalos de teste: , e . Além disso, conseguimos fatorar a expressão da derivada da seguinte forma
Ou seja, temos que testar o sinal dos fatores e :
Nesse intervalo, , então e . Logo, a derivada tem sinal positivo no intervalo e, portanto, a função é crescente.
Agora, , de modo que e . Como a derivada tem sinal negativo, a função é decrescente.
Nesse intervalo, . Então, e . Então, a função é novamente crescente, uma vez que a derivada é positiva.
Na tabela abaixo, verificamos o sinal da derivada em alguns pontos para ilustrar o que acabamos de calcular:

Passo 3
Além da tabela, também podemos traçar o gráfico da função para verificar nossas conclusões.

Na figura acima, não fica bem claro o que acontece em , por isso vamos dar um zoom nessa área:

Agora sim, ficou claro que a função é crescente em e , decrescente em , com pontos críticos e .
Resposta
Pontos críticos e , crescente em e e decrescente em .