Enunciado

Nos exercícios de 1 a 6, ache a derivada parcial indicada por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de x e y antes da diferenciação.

u = 3 x 2 + x y - 2 y 2 + 3 x - y ; x = 2 r - 3 s ; y = r + s

Passo 1

Bom, vamos começar fazendo as derivadas parciais do nosso u em relação a x e em relação a y:

δ u δ x = 6 x + y + 3

δ u δ y = x - 4 y - 1

E fazer para os valores de x e y em relação a r:

δ x δ r = 2

δ y δ r = 1

E agora para os valores de x e y em relação a s:

δ x δ s = - 3

δ y δ s = 1

Passo 2

Agora é só substituir na fórmula da regra da cadeia para fazer em relação ao r:

δ u δ r = δ u δ x × δ x δ r + δ u δ y × δ y δ r

δ u δ r = 6 x + y + 3 2 + x - 4 y - 1 1

δ u δ r = 12 x + 2 y + 6 + x - 4 y - 1 = 13 x - 2 y + 5

E para fazer em relação ao q é só fazer exatamente a mesma coisa, mas se atentando a mudança de variável na fórmula:

δ u δ s = δ u δ x × δ x δ s + δ u δ y × δ y δ s

δ u δ s = 6 x + y + 3 - 3 + x - 4 y - 1 ( 1 )

δ u δ s = - 18 x - 3 y - 9 + x - 4 y - 1 = - 17 x - 7 y - 10

Passo 3

Na letra b iremos substituir os valores de x e y na equação de u antes de fazermos as suas derivadas. Da seguinte forma:

3 2 r - 3 s 2 + 2 r - 3 s r + s - 2 r + s 2 + 3 2 r - 3 s - r + s

3 4 r 2 - 2 × 2 r × 3 s + 9 s 2 + 2 r 2 + 2 r s - 3 r s - 3 s 2 - 2 r 2 + 2 r s + s 2 + 6 r - 9 r - r + s

12 r 2 - 36 r s + 27 s 2 + 2 r 2 - r s - 3 s 2 - 2 r 2 - 4 r s - 2 s 2 + 5 r - 10 s

12 r 2 - 41 r s + 22 s 2 + 5 r - 10 s

Passo 4

Agora precisamos fazer a regra da cadeia em relação a r:

δ u δ r = 24 r 2 - 41 s + 5

E em relação a s:

δ u δ s = - 41 r + 44 s - 10

Resposta

( a )   δ u δ r = 13 x - 2 y + 5 ; δ u δ s = - 17 x - 7 y - 1 0

(b) δ u δ r = 24 r 2 - 41 s + 5 ; δ u δ s = - 41 r + 44 s - 10

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