Enunciado

Nos exercícios de 1 a 6, ache a derivada parcial indicada por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de x e y antes da diferenciação.

V = π x 2 y ;   x = cos ⁡ z s e n   t ; y = z 2 e t

Passo 1

Bom, vamos começar fazendo as derivadas parciais do nosso V em relação a x e em relação a y. Lembrando que faremos derivadas PARCIAIS, ok?

δ V δ x = 2 π x y

δ V δ y = π x 2

E fazer para os valores de x e y em relação a z:

δ x δ z = - s e n   2   s e n   t

δ y δ z = 2 z e t  

E agora para os valores de x e y em relação a t:

δ x δ t = cos ⁡ z cos ⁡ t

δ y δ t = z 2 e t

Passo 2

Agora é só substituir na fórmula da regra da cadeia para fazer em relação ao z:

δ V δ z = δ V δ x × δ V δ z + δ V δ y × δ y δ z

δ V δ z = 2 π x y - s e n   2   s e n t + π x 2 ( 2 z e t )

δ V δ z = 2 π x ( - y   s e n z   s e n t + x z e t )

E para fazer em relação ao t é só fazer exatamente a mesma coisa, mas se atentando a mudança de variável na fórmula:

δ V δ t = δ V δ x × δ V δ t + δ V δ y × δ y δ t

δ V δ t = 2 π x y cos ⁡ z cos ⁡ t + x z 2 e t

δ V δ t = π x ( 2 y cos ⁡ z cos ⁡ t + x z 2 e t )

Passo 3

Na letra b iremos substituir os valores de x e y na equação de V antes de fazermos as suas derivadas. Da seguinte forma:

π cos ⁡ z s e n t 2 z 2 e t

π cos 2 ⁡ z s e n 2 t   z 2 e t

Passo 4

Agora precisamos fazer a regra da cadeia em relação a z:

δ V δ z = π   s e n 2 t   e t ( cos 2 ⁡ z × z 2 )

Precisaremos fazer a regra do produto para cos 2 ⁡ z × z 2 , que nos diz que:

U × V ' = U ' V × V ' U

Tendo isso em mente e substituindo o resultado da regra do produto, iremos ter:

δ V δ z = π   s e n 2 t   e t   z ( 2 cos 2 ⁡ z - z cos ⁡ 2 z )

E em relação a t:

δ V δ t = π   cos ⁡ z   s e n t 2 ( z 2 e t )

δ V δ t = π cos 2 ⁡ z   z 2   s e n 2 t   e t

Aqui precisamos fazer a regra do produto novamente, para s e n 2 t   e t . Tendo isso em mente e substituindo o resultado da regra do produto, iremos ter:

δ V δ t = π  cos 2 ⁡ z   z 2   e t ( s e n 2 t + s e n 2 t )

Resposta

( a )   δ V δ z = 2 π x ( - y   s e n z   s e n t + x z e t ) ; δ V δ t = π x ( 2 y cos ⁡ z cos ⁡ t + x z 2 e t )

(b) δ V δ z = π   s e n 2 t   e t   z ( 2 cos 2 ⁡ z - z cos ⁡ 2 z ) ; δ V δ t = π  cos 2 ⁡ z   z 2   e t ( s e n 2 t + s e n 2 t )