Enunciado

Nos exercícios de 1 a 6, ache a derivada parcial indicada por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de x e y antes da diferenciação.

u = x 2 - y 2 ;   x = 3 r - s ;   y = r + 2 s

Passo 1

Bom, vamos começar fazendo as derivadas parciais do nosso u em relação a x e em relação a y:

δ u δ x = 2 x

δ u δ y = - 2 y

E fazer para os valores de x e y em relação a r:

δ x δ r = 3

δ y δ r = 1  

E agora para os valores de x e y em relação a s:

δ x δ s = - 1

δ y δ s = 2

Passo 2

Agora é só substituir na fórmula da regra da cadeia para fazer em relação ao r:

δ u δ r = δ u δ x × δ x δ r + δ u δ y × δ y δ r

δ u δ r = 2 x × 3 + - 2 y × 1 = 6 x - 2 y

E para fazer em relação ao s é só fazer exatamente a mesma coisa, mas se atentando a mudança de variável na fórmula:

δ u δ s = δ u δ x × δ x δ s + δ u δ y × δ y δ s

δ u δ s = 2 x × - 1 + - 2 y × 2 = - 2 x - 4 y

Passo 3

Na letra b iremos substituir os valores de x e y na equação de u antes de fazermos as suas derivadas. Da seguinte forma:

3 r - s 2 - r + 2 r 2

9 r 2 - 6 r s + s 2 - r 2 + 4 r s + 4 s 2

9 r 2 - 6 r s + s 2 - r 2 - 4 r s - 4 s 2

Organizando essa equação, teremos:

9 r 2 - r 2 + s 2 - 4 s 2 - 6 r s - 4 r s

8 r 2 - 3 s 2 - 10 r s

Passo 4

Agora precisamos fazer a regra da cadeia em relação a r:

δ u δ r = 16 r - 10 s

E em relação a s:

δ u δ s = - 10 r - 6 s

Resposta

( a )   δ u δ r = 6 x - 2 y ; δ u δ s = - 2 x - 4 y

(b) δ u δ r = 16 r - 10 s ; δ u δ s = - 10 r - 6 s

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