Enunciado

Nos exercícios de 1 a 6, ache a derivada parcial indicada por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de x e y antes da diferenciação.

u = e y x ;   x = 2   r   c o s t   ; y = 4   r   s e n t

Passo 1

Bom, vamos começar fazendo as derivadas parciais do nosso u em relação a x e em relação a y. Lembrando que faremos derivadas PARCIAIS, ok?

δ u δ x = - y e y x x 2

δ u δ y = e y x x

E fazer para os valores de x e y em relação a r:

δ x δ r = 2 c o s t

δ y δ r = 4 s e n t  

E agora para os valores de x e y em relação a t:

δ x δ t = - 2 r s e n t

δ y δ t = 4 r c o s t

Passo 2

Agora é só substituir na fórmula da regra da cadeia para fazer em relação ao r:

δ u δ r = δ u δ x × δ x δ r + δ u δ y × δ y δ r

δ u δ r = - y e y x x 2 2 c o s t + e y x x ( 4 s e n t )

δ u δ r = - y e y x 2 c o s t x 2 + e y x 4 s e n t x

Agora iremos colocar o e y x em evidência:

δ u δ r = e y x - y   2 c o s t x 2 + 4 s e n t x

Agora pra acharmos igual o gabarito do livro, iremos tirar o MMC dos que estão dentro dos parênteses:

δ u δ r = e y x   - y   2 c o s t + 4 x s e n t x 2

δ u δ r =   e y x x 2 4   x   s e n t - 2   y   c o s t

Agora colocando o 2 em evidência também:

δ u δ r = 2 e y x x 2 ( 2   x   s e n t - y   c o s t )  

E para fazer em relação ao t é só fazer exatamente a mesma coisa, mas se atentando a mudança de variável na fórmula:

δ u δ t = δ u δ x × δ x δ t + δ u δ y × δ y δ t

δ u δ t = - y e y x x 2 - 2 r s e n t + e y x x ( 4 r c o s t )

δ u δ t = e y x y   2 r s e n t x 2 + 4 r c o s t x

Agora pra acharmos igual o gabarito do livro, iremos tirar o MMC dos que estão dentro dos parênteses:

δ u δ t = e y x   2 y r s e n t + 4 x r c o s t x 2

δ u δ t = 2 e y x x 2 ( y s e n t + 2 x c o s t )  

Passo 3

Na letra b iremos substituir os valores de x e y na equação de u antes de fazermos as suas derivadas. Da seguinte forma:

e 4 r s e n t 2 r c o s t = e 2 t g   t

Passo 4

Agora precisamos fazer a regra da cadeia em relação a r:

δ u δ r = 0

E em relação a t:

δ u δ t = e 2 t g   t 2   t g   t '

δ u δ t = e 2   t g   t ( sec 2 ⁡ t )

Resposta

( a )   δ u δ r = 2 e y x x 2 ( 2   x   s e n t - y   c o s t ) ; δ u δ t = 2 e y x x 2 ( y s e n t + 2 x c o s t )  

(b) δ u δ r = 0 ; δ u δ t = e 2   t g   t ( sec 2 ⁡ t )

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