Enunciado

Nos exercícios de 1 a 6, ache a derivada parcial indicada por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de x e y antes da diferenciação.

u = 3 x - 4 y 2 ; x = 5 p q ; y = 3 p 2 - 2 q

Passo 1

Bom, vamos começar fazendo as derivadas parciais do nosso u em relação a x e em relação a y. Lembrando que faremos derivadas PARCIAIS, ok?

δ u δ x = 3

δ u δ y = - 8 y

E fazer para os valores de x e y em relação a p:

δ x δ p = 5 q

δ y δ p = 6 p  

E agora para os valores de x e y em relação a q:

δ x δ q = 5 p

δ y δ q = - 2

Passo 2

Agora é só substituir na fórmula da regra da cadeia para fazer em relação ao p:

δ u δ p = δ u δ x × δ x δ p + δ u δ y × δ y δ p

δ u δ p = 3 × 5 q + - 8 y × 6 p = 15 q - 48 y p

Como aqui nós temos as variáveis de u, p e q todas juntas, precisamos fazer a substituição. Como assim? Tá vendo aquele y que ficou no resultado final? Nós sabemos o valor dele, que é 3 p 2 - 2 q . Agora é só colocar isso ali na resposta:

δ u δ p = 15 q - 48 3 p 2 - 2 q p

δ u δ p = 15 q - 144 p 2 - 96 q p

δ u δ p = 15 q - 144 p 3 + 96 p q

E para fazer em relação ao q é só fazer exatamente a mesma coisa, mas se atentando a mudança de variável na fórmula:

δ u δ q = δ u δ x × δ x δ q + δ u δ y × δ y δ q

δ u δ q = 3 × 5 p + - 8 y × - 2

δ u δ q = 15 p + 16 y

Agora iremos fazer a mesma coisa que fizemos com o p, substituir o valor de y:

δ u δ q = 15 p + 16 2 p 2 - 2 q

δ u δ q = 15 p + 48 p 2 - 32 q

Passo 3

Na letra b iremos substituir os valores de x e y na equação de u antes de fazermos as suas derivadas. Da seguinte forma:

3 5 p q - 4 3 p 2 - 2 q 2

15 p q - 4 ( 9 p 4 - 2 × 3 p 2 × 2 q + 4 q 2 )

15 p q - 4 9 p 4 - 12 p 2 q + 4 q 2

15 p q - 36 p 4 + 48 p 2 q - 16 q 2

Passo 4

Agora precisamos fazer a regra da cadeia em relação a p:

δ u δ p = 15 q - 144 p 3 + 2 × 48 p = 15 q - 144 p 3 + 96 p

E em relação a q:

δ u δ q = 15 p + 48 p 2 - 32 q

Resposta

a δ u δ p = 15 q - 144 p 3 + 96 p q ; δ u δ q = 15 p + 48 p 2 - 32 q  

b δ u δ p = 15 q - 144 p 3 + 96 p q ; δ u δ q = 15 p + 48 p 2 - 32 q  

Exercícios de Livros Relacionados

Uma pessoa cujo peso é 5,20 10 2 N está sendo puxada para cima vertica
Uma pequena esfera é pendurada por uma corda no teto de uma van. Quand
Mostre que o comprimento de atenuação Λ é igual à distância média que
Deve-se usar a expressão relativística para a energia cinética do elét
Use os dados da figura 2-17 para calcular a espessura de uma lâmina de