Enunciado

Nos exercícios de 1 a 6, ache a derivada parcial indicada por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de x e y antes da diferenciação.

u = x 2 + y 2 ; x = cosh ⁡ r c o s t ; y = s e n h   r   s e n t

Passo 1

Bom, vamos começar fazendo as derivadas parciais do nosso u em relação a x e em relação a y. Lembrando que faremos derivadas PARCIAIS, ok?

δ u δ x = 2 x

δ u δ y = 2 y

E fazer para os valores de x e y em relação a r:

δ x δ r = s e n h   r   c o s t

δ y δ r = cosh ⁡ r   s e n t  

E agora para os valores de x e y em relação a t:

δ x δ t = - cosh ⁡ r s e n t

δ y δ t = s e n h   r   c o s t

Passo 2

Agora é só substituir na fórmula da regra da cadeia para fazer em relação ao r:

δ u δ r = δ u δ x × δ x δ r + δ u δ y × δ y δ r

δ u δ r = 2 x   s e n h   r   c o s t + 2 y cosh ⁡ r s e n t

Aqui nós já não temos como mexer na equação, então como temos todas as variáveis juntas e sabemos quais os valores de x e y, iremos substituir na resposta:

δ u δ r = 2 cosh ⁡ r c o s t s e n h   r   c o s t + 2 s e n h   r   s e n t cosh ⁡ r s e n t

δ u δ r = 2 cosh ⁡ r c o s t × s e n h   r   c o s t + 2 s e n h   r   s e n t × cosh ⁡ r s e n t

Juntando os senos e os cossenos nesse resultado, teremos:

δ u δ r = 2 cosh ⁡ r s e n h   r × cos 2 ⁡ t + 2 s e n h   r cosh ⁡ r s e n 2 t

δ u δ r = 2 cosh ⁡ r s e n h   r   cos 2 ⁡ t + s e n 2 t

Segundo a relação fundamental da trigonometria, cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1 , portanto:

δ u δ r = 2 cosh ⁡ r s e n h   r

E para fazer em relação ao t é só fazer exatamente a mesma coisa, mas se atentando a mudança de variável na fórmula:

δ u δ t = δ u δ x × δ x δ t + δ u δ y × δ y δ t

δ u δ t = 2 x - cosh ⁡ r s e n t + 2 y ( s e n h   r   c o s t )

Aqui nós já não temos como mexer na equação, então como temos todas as variáveis juntas e sabemos quais os valores de x e y, iremos substituir na resposta:

δ u δ t = 2 cosh ⁡ r c o s t - cosh ⁡ r s e n t + 2 s e n h   r   s e n t s e n h   r   c o s t

δ u δ t = 2 cosh ⁡ r c o s t - cosh ⁡ r s e n t + 2 s e n h   r   s e n t   s e n h   r   c o s t

δ u δ t = - 2 cosh 2 ⁡ r c o s t   s e n t + 2 s e n h 2 r   s e n t   c o s t

δ u δ t = 2 c o s t   s e n t ( - cosh 2 ⁡ r + s e n h 2 r )

Dessa forma, teremos:

δ u δ t = s e n   2 t   ( s e n h 2 r - cosh 2 ⁡ r )

Passo 3

Na letra b iremos substituir os valores de x e y na equação de u antes de fazermos as suas derivadas. Da seguinte forma:

cosh ⁡ r c o s t 2 + s e n h   r   s e n t 2

cosh 2 ⁡ r cos 2 ⁡ t + s e n h 2 r   s e n 2 t

Passo 4

Agora precisamos fazer a regra da cadeia em relação a r:

δ u δ r = 2 cosh ⁡ r s e n h   r   c o s 2 t + 2 s e n h   r cosh ⁡ r   s e n 2 t

δ u δ r = 2 cosh ⁡ r s e n h   r cos 2 ⁡ t + s e n 2 t

δ u δ r = 2 cosh ⁡ r s e n h   r

E em relação a t:

δ u δ t = - cosh 2 ⁡ r 2 c o s t   s e n   t + s e n h 2 r   2 s e n   t   c o s t

δ u δ t = 2 c o s t   s e n t s e n h 2 r - cosh 2 ⁡ r

δ u δ t = s e n   2 t ( s e n h 2 r - cosh 2 ⁡ r )

Resposta

( a )   δ u δ r = 2 cosh ⁡ r s e n h   r ; δ u δ t = s e n   2 t   ( s e n h 2 r - cosh 2 ⁡ r )

(b) δ u δ r = 2 cosh ⁡ r s e n h   r ; δ u δ t = s e n   2 t   ( s e n h 2 r - cosh 2 ⁡ r )

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