Nos exercícios de 1 a 6, A = (1, 2, 3), B = (4, -3 , -1 ), C = ( -5 , -3 , 5 ), D = ( -2 , 1, 6 ).

6. Ache os escalares a, b e c , tais que aA + bB + cC = D

Passo 1

Primeiramente realizamos a multiplicação do vetor por um escalar, essa é feita multiplicando cada coordenada do vetor pelo escalar, ou matematicamente:

c . ( x , y , z ) = ( c ⇒ ⇒ x ,   c y ,   c z )

Realizando cada multiplicação temo:

a A = a ( 1 ,   2 ,   3 ) = ( a ,   2 a ,   3 a )

b B = b ( 4 ,   - 13 ,   - 1 ) = ( 4 b ,   - 3 b ,   - b )

c C = c ( - 5 ,   - 3 ,   5 ) = ( - 5 c ,   - 3 c ,   5 c )

Passo 2

Agora relembrando que a soma de vetores é dada pela soma de cada coordenada em “x”, “y” e “z”, ou matematicamente:

( a ,   b ,   c )   +   ( d ,   e ,   f )   = ( a + d ,   b + e ,   c + f )

Podemos então escrever a soma dos vetores encontrados no passo anterior da seguinte forma:

( a ,   2 a ,   3 a ) +   ( 4 b ,   - 3 b ,   - b ) + ( - 5 c ,   - 3 c ,   5 c ) = D  

Resolvendo e colocando as coordenadas do vetor D:

( a   + 4 b - 5 c ,   2 a - 3 b   - 3 c ,   3 a   - b   +     5 c ) = ( - 2 ,   1 ,   6 )  

Com esses valores podemos montar um sistema de 3 equações de forma que:

( I )   a   + 4 b - 5 c =   - 2

( I I )   2 a - 3 b   - 3 c = 1

I I I   3 a   - b   +     5 c = 6

Passo 3

Agora basta resolver o sistema encontrado, para isso primeiramente somamos a equação (I) e a (III), resultando em:

a + 4 b - 5 c + 3 a - b + 5 c = - 2 + 6 ⇒ I V   4 a + 3 b = 4

Agora com a equação (II) devemos eliminar a mesma variável eliminada na equação (IV), para isso multiplicamos a equação (II) por 5 e a equação (III) por 3, de forma que: I I   2 a - 3 b   - 3 c = 1 . 5 ⇒ 10 a - 15 b - 15 c = 5

I I I   3 a   - b   +     5 c = 6 .   3 ⇒ 9 a - 3 b + 15 c = 18

Somando os dois resultados: 10 a - 15 b - 15 c + 9 a - 3 b + 15 c = 5 + 18 ⇒ V   19 a - 18 b = 23

Com isso montamos um sistema simples de duas equações (IV) e (V), agora basta resolver para tal multiplicamos a equação (IV) por 6:

I V   4 a + 3 b = 4 .   6 ⇒ 24 a + 18 b = 24

Somando o resultado encontrado com a equação (V), temos:

24 a + 18 b + 19 a - 18 b = 24 + 23 ⇒ 43 a = 47 ⇒ a = 47 43

Substituindo o valor encontrado na equação (IV), temos:

4 . 47 43   + 3 b = 4 ⇒ 141 + 129 b 43 = 4 ⇒ 141 + 129 b = 172 ⇒ 129 b = 31 ⇒ b = 31 129

Agora que encontramos os valores de a   e   b , basta substituir em uma das três primeiras equações para encontrarmos o valor de c , substituindo na equação (I), temos:

I 47 43     + 4 . 31 129 - 5 c =   - 2 ⇒ 47 43 + 124 129 - 5 c = - 2 ⇒ 141 + 124 - 645 c 129 = - 2

270 - 645 c = - 258 ⇒ c = 528 645 ⇒ c = 176 215

Resposta

a = 47 43 ,   b = 31 129 ,   c = 176 215