Nos exercícios de 1 a 6, A = (1, 2, 3), B = (4, -3 , -1 ), C = ( -5 , -3 , 5 ), D = ( -2 , 1, 6 ).

5. Ache os escalares a e b, tais que a(A + B) + b(C + D) = 0

Passo 1

Inicialmente realizamos a soma de dois vetores essa é realizada somando as coordenadas em “x”, “y” e “z” de cada vetor, de forma que:

( a ,   b ,   c )   +   ( d ,   e ,   f )   = ( a + d ,   b + e ,   c + f )

Para as duas somas do exercício temos:

( A + B ) = ( 1 ,   2 ,   3 )   +   ( 4 ,   - 3 ,   - 1 ) = ( 1 + 4 ,   2 - 3 ,   3 - 1 ) = ( 5 ,   - 1 ,   2 )

( C + D ) = ( - 5 ,   - 3 ,   5 )   +   ( - 2 ,   1 ,   6 ) = ( - 5 - 2 ,   - 3 + 1 ,   5 + 6 ) = ( - 7 ,   - 2 ,   11 )

Passo 2

Em seguida aplicamos a multiplicação do vetor por um escalar,essa é feita multiplicando cada coordenada do vetor pelo escalar, ou matematicamente:

c . ( x , y , z ) = ( c x ,   c y ,   c z )

Nos dois casos do exercício:

a ( A + B ) = a ( 5 ,   - 1 ,   2 ) = ( 5 a ,   - 1 a ,   2 a )

b ( C + D ) = b ( - 7 , - 2,11 ) = ( - 7 b ,   - 2 b ,   11 b )

Ficando:

( 5 a ,   - 1 a ,   2 a )   +   ( - 7 b ,   - 2 b ,   11 b ) = 0

A única forma do resultado dar zero é a soma de vetores ser igual ao vetor nulo, pois a soma de vetores sempre resulta em outro vetor, de forma que podemos escrever:

( 5 a ,   - 1 a ,   2 a )   +   ( - 7 b ,   - 2 b ,   11 b ) = ( 0 ,   0 ,   0 )

Como cada componente é igual a zero, e dado a soma de vetores exemplificada no passo 1, podemos escrever três equações distintas para cada componente, ficando

( I )   5 a - 7 b = 0

( I I )   - 1 a - 2 b = 0

( I I I )   2 a + 11 b = 0

Passo 3

Por último resolvemos o sistema, primeiramente igualando a equação ( I ) e ( I I ) e isolamos uma das variáveis:

5 a - 7 b = - 1 a - 2 b ⇒ a = 5 6 b

Substituindo o valor na equação ( I I I ) , temos:

2 5 6 b + 11 b = 0 ⇒ 5 3 b + 11 b = 0

Isolando b :

b ( 5 3 + 11 ) = 0 ⇒ b = 0

Como b é igual a zero basta substituir o valor em qualquer uma das equações para perceber que a = b = 0 , como exemplo fazemos isso na equação ( I ) :

( I )   5 a - 7.0 = 0 ⇒ 5   a = 0 ⇒ a = 0

Resposta

Os escalares a e b que satisfazem a relação a ( A + B ) + b ( C + D ) = 0 , são a = 0 e b = 0