Nos Exercícios 1-12, associe a equação com a superfície que ela define. Além disso, identifique cada superfície pelo tipo (paraboloide, elipsoide etc.) As superfícies vão de a-l.

8. z^2 + x^2 - y^2 = 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Este exercício visa no que é baseado na equação do enunciado

z 2 + x 2 - y 2 = 1

E com isso, identificar a superfície por tipo. Então, vamos reescrever a equação dada em uma forma que possamos identificar facilmente. O menos na frente de x nos diz que o eixo y é o eixo de simetria. Os traços da superfície que é dado pela equação acima são elipses no plano x z   ( y = 0 ) .

z 2 1 2 + x 2 1 2 = 1

Enquanto são hipérboles no plano x y   ( z = 0 ) e no plano y z   ( x = 0 ) .

x 2 1 2 - y 2 1 2 = 1

E

z 2 1 2 - y 2 1 2 = 1

Assim, com base nas conclusões acima, notamos que a equação dada se assemelha à equação de um hiperbolóide de uma folha. Vamos primeiro relembrar a equação geral do hiperboloide de uma folha.

x 2 c 2 + x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Passo 2

Como notamos, a equação dada pode ser expressa na forma dada acima:

z 2 1 2 + x 2 1 2 - y 2 1 2 = 1

Com a = 1 ,   b = 1   e c = 1 . Notamos que a interceptação de nossa hiperbólica de uma folha com eixo x e eixo z são pontos ± a , 0,0 = ( ± 1,0 , 0 ) e 0,0 , ± c = ( 0,0 , ± 1 ) , enquanto não há interseção com o eixo y porque se definirmos x = 0 e z = 0 em nossa equação, obtemos:

y 2 = - b 2

Esta situação não admite solução real para o termo de b . Considerando as superfícies dadas, notamos que são dados dois hiperbolóides de uma folha. Notamos que não há interseção do hiperbolóide de uma folha na parte (i) com o eixo x, enquanto não há interseção do hiperbolóide de uma folha na parte (j) com o eixo y. Assim, podemos concluir que a equação dada descreve o hiperbolóide de uma folha mostrada na parte (j).

Resposta

Respondido acima!