Nos Exercícios 1-4, calcule as derivadas da função nos pontos indicados no gráfico.

f(x) = x + 32 / x^2

Passo 1

Nessa questãozinha nós precisamos perceber que a função acima é a soma de duas funções, então vamos utilizar a regra da soma: se f ( x ) = g ( x ) + h ( x ) então a derivada é dada por f ' ( x ) = g ' ( x ) + h ' ( x ) . Vamos identificar g ( x ) = x e h ( x ) = 32 / x 2 . Para calcular a derivada de 32 / x 2 , devemos lembrar que essa função pode ser reescrita como 32   x - 2 e aí é só usar a regra de derivação de polinômios ( d ( x n ) d x = n x n - 1 ). Assim, temos

g ' ( x ) = 1

h ' ( x ) = 32   ⋅ d ( x - 2 ) d x = 32   ⋅ ( - 2 )   x - 2 - 1 = - 64   x - 3 = - 64 x 3

Agora, só temos que somar essas derivadas para obter a derivada da função f :

f ' ( x ) = 1 - 64 x 3

Passo 2

Agora vamos calcular a derivada nos pontos dados pelo gráfico acima: ( 2,10 ) , ( 4,6 ) e ( 8,17 / 2 ) . Ou seja, vamos substituir x = 2 , x = 4 e x = 8 na derivada acima:

  • x = 2
  • f ' ( 2 ) = 1 - 64 2 3 = 1 - 64 8 = 1 - 8 = - 7

  • x = 4
  • f ' ( 4 ) = 1 - 64 4 3 = 1 - 64 64 = 0

  • x = 8

f ' ( 8 ) = 1 - 64 8 3 = 1 - 64 512 = 1 - 0,125 = - 0,875

Resposta

f ' ( 2 ) = - 7

f ' ( 4 ) = 0

f ' ( 8 ) = - 0,875