Nos Exercícios 1-4, calcule as derivadas da função nos pontos indicados no gráfico.

f(x) = x^2 / (x^2 + 4)

Passo 1

Fala galerinha, tudo beleza? Então, nessa questão nós temos que calcular as derivadas e então aplicar nos pontos dados no gráfico acima, ou seja, em x = - 1 , x = 0 e x = 1 . Para derivar a função, basta notarmos que nós temos a divisão de duas funções. Nesse caso, utilizamos a regra do quociente. Só pra dar uma refrescada na memória, a regra do quociente diz que a derivada de uma função f ( x ) = g ( x ) / h ( x ) é dada por

f ' ( x ) = g ' ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ' ( x ) [ h ( x ) ] 2

Olhando a definição acima, vemos que g ( x ) = x 2 e h ( x ) = x 2 + 4 . Assim, g ' ( x ) = 2 x e h ' ( x ) = 2 x também. Substituindo na regra do quociente, obtemos

f ' ( x ) = 2 x ⋅ ( x 2 + 4 ) - x 2 ⋅ 2 x ( x 2 + 4 ) 2 = 2 x ⋅ ( x 2 + 4 - x 2 ) ( x 2 + 4 ) 2 = 2 x ⋅ 4 ( x 2 + 4 ) 2 = 8 x ( x 2 + 4 ) 2

Passo 2

Agora, vamos aplicar a derivada a cada um dos pontos do gráfico. Para isso, basta substituir x por x = - 1 , x = 0 e x = 1 :

  • x = - 1
  • f ' ( - 1 ) = 8 ( - 1 ) ( ( - 1 ) 2 + 4 ) 2 = - 8 5 2 = - 8 25

    • x = 0

    f ' ( 0 ) = 8 ⋅ 0 ( 0 + 4 ) 2 = 0

  • x = 1

f ' ( 1 ) = 8 ⋅ 1 ( 1 2 + 4 ) 2 = 8 5 2 = 8 25

Resposta

f ' ( - 1 ) = - 8 25

f ' ( 0 ) = 0

f ' ( 1 ) = 8 25