Nos Exercícios 1-4, calcule as derivadas da função nos pontos indicados no gráfico.

f(x) = (x + 2)^(2/3)

Passo 1

A função f ( x ) = ( x + 2 ) 2 / 3 pode parecer intimidadora, mas basta notar que, se g ( x ) = x + 2 , e h ( x ) = x 2 / 3 , então f ( x ) = h ( g ( x ) ) . Assim, temos uma função composta que é nada mais nada menos que uma função “dentro” de outra função. Nesses casos, a derivada é dada pela regra da cadeia:

f ' ( x ) = h ' ( g ( x ) ) ⋅ g ' ( x )

Agora é só obter as derivadas de g ( x ) e h ( x ) e substituir na fórmula:

g ' ( x ) = d d x ( x + 2 ) = 1

h ' ( x ) = d d x ( x 2 / 3 ) = 2 3 x 2 / 3 - 1 = 2 3 x - 1 / 3 = 2 3   x 1 / 3   ⇒ h ' ( g ( x ) ) = 2 3   ( x + 2 ) 1 / 3  

⇒ f ' ( x ) = 2 3   ( x + 2 ) 1 / 3 ⋅ 1 = 2 3   ( x + 2 ) 1 / 3  

Passo 2

Agora vamos aplicar a derivada nos pontos dados no gráfico ( - 3,1 ) , ( - 2,0 ) e ( - 1,1 ) :

  • x = - 3

f ' ( - 3 ) = 2 3   ( - 3 + 2 ) 1 / 3 = 2 3   ( - 1 ) 1 / 3 ⋅ ( - 1 ) ( - 1 ) = - 2   ( - 1 ) 2 / 3 3  

  • x = - 2 : Nesse ponto tempo uma indeterminação, então vamos tomar o limite

f ' ( - 2 ) = l i m x → - 2 2 3   ( x + 2 ) 1 / 3 = + ∞

Esse resultado está consistente com o que vemos no gráfico, pois nesse ponto há um “bico”, ou seja, uma descontinuidade.

  • x = - 1

f ' ( - 1 ) = 2 3   ( - 1 + 2 ) 1 / 3 = 2 3   ( 1 ) 1 / 3 = 2 3

Resposta

f ' ( - 3 ) = - 2   ( - 1 ) 2 / 3 3  

f ' ( - 2 ) → + ∞

f ' ( - 1 ) = 2 3